Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.02 Поиск точек экстремума у сложных функций

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела исследование функций с помощью производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#316

Найдите точку минимума функции  y = √x2−-12x+-40.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: x2− 12x +40 ≥ 0.

1) Найдем производную:

       2x − 12          x− 6
y′ =-√-2--------- = √-2----------
    2 x − 12x+ 40    x − 12x+ 40

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

----x-− 6----
√x2-−-12x-+-40-= 0

Отсюда на ОДЗ получаем

x− 6 =0   ⇔   x= 6

Далее имеем:

x2− 12x +40 = x2− 12x +36 +4 =
              2
       = (x − 6) + 4> 0

Тогда производная функции y  определена при любом x.  Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :

PIC

3) Эскиз графика y :

PIC

Таким образом, x = 6  — точка минимума функции y.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#317

Найдите точку максимума функции y = √−x2-+2-− 6x.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: − x2+ 2− 6x≥ 0,  что равносильно x2 +6x − 2 ≤ 0,  откуда находим − 3 − √11-≤ x≤ − 3+ √11.

1) Найдем производную:

       −2x− 6           x +3
y′ = √---2--------= −√---2--------
    2 −x + 2− 6x      −x + 2− 6x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

 ′           ----x+-3----
y = 0  ⇔   − √−-x2+-2−-6x-= 0  ⇔   x +3 = 0

— на ОДЗ, откуда находим x = −3.  Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ на ОДЗ:

PIC

3) Эскиз графика y :

PIC

Таким образом, x = −3  — точка максимума функции y.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1271

Найдите точку максимума функции

    √ ----------------
y =   − 79 − 18x −  x2
Показать ответ и решение

1 способ.

Заметим, что

x2 + 18x + 79 = x2 + 18x + 81 − 2 =  (x + 9 )2 − 2
Следовательно,     ∘ --------------
y =   − (x + 9)2 + 2  . Так как (x + 9)2 ≥ 0  , то − (x + 9)2 + 2 ≤ 2  .
Заметим, что при x < − 9  функция y(x )  является возрастающей, так как при увеличении x  значение y(x )  также растет. А при x >  − 9  функция является убывающей. Следовательно, x =  − 9  – точка максимума.

 

2 способ.

Найдем производную функции.

      √ ----------------                               1
y′ = (  − 79 − 18x − x2)′ ⋅ (− 79 − 18x − x2)′ =-√----------------⋅ (− 2x − 18)
                                               2  − 79 − 18x − x2
Найдем нули производной:
y ′ = 0  ⇒    x =  − 9
Заметим, что x = − 9  подходит по ОДЗ (−  79 − 18x − x2 ≥ 0  ). Найдем знаки производной справа и слева от точки x = − 9  :
PIC
Таким образом, по определению точка x = − 9  является точкой максимума.
Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2071

Найдите точку максимума функции         2
y =  e−x +2x  .

Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

1)

y ′ = e−x2+2x ⋅ (− 2x + 2) = − 2 (x − 1)e −x2+2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

             2
− 2(x − 1)e−x +2x = 0     ⇔       x = 1.
Производная существует при любом x  .

2) Найдём промежутки знакопостоянства  ′
y :
 
PIC

 

3) Эскиз графика:
 
PIC

 

Таким образом, x = 1  – точка максимума функции y  .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2743

Найдите точку минимума функции        2
y =  ex+1   .

Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

1)

y′ = ex2+1 ⋅ 2x = 2xex2+1

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

   x2+1
2xe     = 0      ⇔      x = 0.
Производная существует при любом x  .

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :
 
PIC

 

3) Эскиз графика:
 
PIC

 

Таким образом, x = 0  – точка минимума функции y  .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#318

Найдите точку локального максимума функции

          1
y = 1716x−3x3+12   .

Показать ответ и решение

1)

                          1
y′ = ln 17 ⋅ (16 − x2)1716x− 3x3+12.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

  ′                             2   16x− 1x3+12                      2
y  = 0     ⇔       ln 17 ⋅ (16 − x )17   3     =  0     ⇔      16 − x  =  0
(так как 17t > 0  при любом t  ), откуда находим x = ±4  . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :
 
PIC
 
3) Эскиз графика y  :
 
PIC
 
Таким образом, x =  4  – точка локального максимума функции y  .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#319

Найдите точку максимума функции

       x2  -1-
y = − e  − ex2   .

Показать ответ и решение

1)

y′ = (− ex2 − e−x2) = − 2xex2 + 2xe−x2 = − 2xe−x2(e2x2 − 1).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

     −x2  2x2                          x2      x2
− 2xe   (e   − 1 ) = 0     ⇔      − x(e  +  1)(e   − 1) = 0
(так как et > 0  при любом t  ), откуда находим x =  0  . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства  ′
y на ОДЗ:
 
PIC
 
3) Эскиз графика y  :
 
PIC
 
Таким образом, x =  0  – точка максимума функции y  .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1645

Найдите точку минимума функции  y = log (x2+16x +100).
      7

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: x2+ 16x +100 >0.

1) Найдем производную:

     1     2x+ 16
y′ = ln-7 ⋅x2+-16x+-100

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

-1- ⋅---2x-+-16----= 0
ln7  x2+ 16x + 100

Отсюда на ОДЗ получаем

2x +16 = 0  ⇔   x= −8

Далее имеем:

 2             2
x + 16x + 100 = x + 16x +64 +36 =
       = (x+ 8)2+36 > 0

Тогда производная определена для любого x.  Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :

PIC

3) Эскиз графика y :

PIC

Таким образом, x = −8  — точка минимума функции y.

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1646

Найдите точку минимума функции

y = ex2−2016x+2017   .

Показать ответ и решение

1)

y ′ = ex2−2016x+2017 ⋅ (2x − 2016).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

 x2−2016x+2017
e            ⋅ (2x − 2016 ) = 0    ⇔      2x −  2016 = 0

(так как  t
e >  0  при любом t  ), откуда находим x = 1008  . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :
 
PIC
 
3) Эскиз графика y  :
 
PIC
 
Таким образом, x =  1008  – точка минимума функции y  .

Ответ: 1008

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2664

Найдите точку минимума функции  y = log   (x2− 10x +201).
      2016

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: x2− 10x +201 >0.

1) Найдем производную:

       1      2x − 10
y′ = ln2016 ⋅ x2− 10x-+201

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

--1---⋅---2x−-10---= 0
ln 2016  x2− 10x+ 201

Отсюда получаем 2x− 10= 0,  то есть x = 5.

Далее имеем:

 2             2
x − 10x+ 201= x − 10x+ 25+ 176=
        = (x − 5)2+ 176> 0

Тогда производная определена для любого x.

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства  ′
y :

PIC

3) Изобразим эскиз графика y :

PIC

Таким образом, x = 5  — точка минимума функции y.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21450

Найдите точку минимума функции       2x2−6x+4,5
f(x)= e        .

Показать ответ и решение

Найдем производную заданной функции:

     ′    ( 2x2−6x+4,5)′
   f (x)=  e         =
  2x2−6x+4,5  ( 2        )′
= e        ⋅2x − 6x+ 4,5 =
    = e2x2−6x+4,5⋅(4x − 6)

Легко видеть, что первый множитель определен и не равен нулю при любом x ∈ℝ.  Второй множитель зануляется при x= 1,5.

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Критическая точка встречается ровно один раз, следовательно, в ней знак будет меняться.

x1+−,5

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежутке (−∞; 1,5)  производная функции f(x)  отрицательна, то есть исходная функция будет убывать. На промежутке (1,5;+∞ )  производная положительна, то есть исходная функция будет возрастать.

x1+−,5

По эскизу видно, что точка x =1,5  является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с «− » на «+  » при проходе слева направо.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#37908

Найдите точку минимума функции y = 8x2+4x+20.

Показать ответ и решение

Функция y =8x2+4x+20  является композицией двух функций f(x)= 8x  и g(x)= x2+ 4x+ 20= (x+ 2)2 +16,  то есть y = f(g(x)).

Так как f(x)  — возрастающая функция, g(x)  убывает при x < −2  и возрастает при x> − 2,  то y =f(g(x))  убывает при x < −2  и возрастает при x > −2  (так как композиция возрастающих функций — возрастающая, а убывающей и возрастающей — убывающая).

Следовательно, x =− 2  — точка минимума функции y =f (g(x)).

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#881

Найдите точку локального максимума функции y = cos(arcsin(x ))  .

Показать ответ и решение

ОДЗ: x ∈  [− 1;1]  .

1)

 ′                   ---1----     ---x----
y =  − sin (arcsin x) ⋅ √1-−-x2-= − √1-−--x2-
– на ОДЗ.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

− √--x----=  0     ⇔      x =  0.
   1 − x2
Производная не существует при x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [1;+ ∞ )  , но эти точки не являются внутренними для области определения.

2) Найдём промежутки знакопостоянства y′ :
 
PIC

 

3) Эскиз графика y  :
 
PIC

 

Таким образом, x = 0  – точка локального максимума функции y  .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#887

Найдите точку локального максимума функции y = sin(cos πx)  , лежащую на отрезке [− 2,5;− 1,8]  .

Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольный.

1)

y′ = cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx )

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0  или не существует):

                                         ⌊
                                               πx =  πn,  n ∈  ℤ
cos(cosπx ) ⋅ π ⋅ (− sinπx ) = 0  ⇔      ⌈          π-
                                           cosπx  = 2 +  πk,  k ∈ ℤ
Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких k ∈ ℤ  , следовательно, производная равна 0  только при x = n, n ∈  ℤ  . Производная существует при любом x  .

2) Найдём промежутки знакопостоянства y ′ (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):
 
PIC

 

3) Найдём промежутки знакопостоянства y′ на [− 2,5;− 1,8]  :
 
PIC

 

3) Эскиз графика y  на [− 2,5;− 1,8]  :
 
PIC

 

Таким образом, x = − 2  – точка локального максимума функции y  на отрезке [− 2,5;− 1,8]  .

Ответ: -2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!