Тема 19-21. Игры

02 Перекладывание камней две кучи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела 19-21. игры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#14223

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет 10 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 8). За один ход из позиции (10, 8) можно получить любую из четырёх позиций: (11, 8), (10, 9), (20, 8), (10, 16). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 50.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 50 или более камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче S камней, $1 ≤ S ≤ 40.$

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Найдите такое значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Показать ответ и решение

Найдем такие $S,$ при которых Петя может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться хотя бы одно из двух неравенств: $9⋅2 + S ≥ 50$ или $9+ S ⋅2 ≥ 50$ . То есть Петя может выиграть при $S ≥ 32$ или $S ≥ 21.$ Таким образом, если мы возьмем $S = 20,$ то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#14224

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такое минимальное значение $S,$ при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Показать ответ и решение

Петя может выиграть своим первым ходом при $S ≥ 32$ или $S ≥ 21.$ Таким образом, если мы возьмем $S = 20,$ то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.

Но нам то нужно, чтобы Петя победил вторым ходом. Тогда мы возьмем $S = 10,$ чтобы Петя первым ходом удвоил вторую кучу и получил позицию (9, 20). А из этой позиции Ваня уже любым своим ходом создают выигрышную позицию для Пети, после чего Петя выигрывает своим вторым ходом.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#14225

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче будет 10 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 8). За один ход из позиции (10, 8) можно получить любую из четырёх позиций: (12, 8), (10, 10), (30, 8), (10, 24). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 78.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 78 или более камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче S камней, $1 ≤ S ≤ 70.$

Найдите такое значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Показать ответ и решение

Найдем такие $S,$ при которых Петя может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться хотя бы одно из двух неравенств: $7⋅3 + S ≥ 78$ или $7+ S ⋅3 ≥ 78$ . То есть Петя может выиграть при $S ≥ 57$ или $S ≥ 24.$ Таким образом, если мы возьмем $S = 23,$ то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#14226

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такое максимальное значение $S,$ при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Показать ответ и решение

Петя может выиграть своим первым ходом при $S ≥ 57$ или $S ≥ 24.$ Таким образом, если мы возьмем $S = 23,$ то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.

Но нам то нужно, чтобы Петя победил вторым ходом. Тогда мы возьмем $S = 21,$ чтобы Петя первым ходом добавил во вторую кучу 2 камня и получил позицию (7, 23). А из этой позиции Ваня уже любым своим ходом создают выигрышную позицию для Пети, после чего Петя выигрывает своим вторым ходом.

Ответ: 21

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел