02 Перекладывание камней две кучи
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче будет 10 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 8). За один ход из позиции (10, 8) можно получить любую из четырёх позиций: (11, 8), (10, 9), (20, 8), (10, 16). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 50.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах
будет 50 или более камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче S камней,
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите такое значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.
Найдем такие при которых Петя может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться хотя бы одно из двух
неравенств:
или
. То есть Петя может выиграть при
или
Таким образом,
если мы возьмем
то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим
ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым
ходом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такое минимальное значение при котором у Пети есть
выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом
независимо от того, как будет ходить Ваня.
Петя может выиграть своим первым ходом при или
Таким образом, если мы возьмем
то Петя
никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и
тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.
Но нам то нужно, чтобы Петя победил вторым ходом. Тогда мы возьмем чтобы Петя первым ходом удвоил
вторую кучу и получил позицию (9, 20). А из этой позиции Ваня уже любым своим ходом создают выигрышную позицию
для Пети, после чего Петя выигрывает своим вторым ходом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче будет 10 камней, а в другой 8 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 8). За один ход из позиции (10, 8) можно получить любую из четырёх позиций: (12, 8), (10, 10), (30, 8), (10, 24). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 78.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах
будет 78 или более камней. В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче S камней,
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т. е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Найдите такое значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.
Найдем такие при которых Петя может выиграть своим первым ходом. Должно выполняться хотя бы одно из двух
неравенств:
или
. То есть Петя может выиграть при
или
Таким образом,
если мы возьмем
то Петя никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим
ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым
ходом.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такое максимальное значение при котором у Пети есть
выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом
независимо от того, как будет ходить Ваня.
Петя может выиграть своим первым ходом при или
Таким образом, если мы возьмем
то Петя
никак не сможет выиграть первым ходом, но при этом любым своим ходом он создаст выигрышную позицию для Вани, и
тогда Ваня уже гарантированно победит своим первым ходом.
Но нам то нужно, чтобы Петя победил вторым ходом. Тогда мы возьмем чтобы Петя первым ходом добавил во
вторую кучу 2 камня и получил позицию (7, 23). А из этой позиции Ваня уже любым своим ходом создают выигрышную
позицию для Пети, после чего Петя выигрывает своим вторым ходом.