Тема 9. Задачи прикладного характера
9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи прикладного характера
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#286

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле F = ρghSдна,  где    F  — сила давления в ньютонах, ρ  — плотность жидкости в кг/м3,  h  — высота столба жидкости в метрах, Sдна  — площадь дна в      м2.  Во сколько раз увеличится сила давления на дно сосуда, если высоту столба жидкости уменьшить в 2 раза при одновременном увеличении радиуса круглого дна в 5 раз?

Показать ответ и решение

Пусть начальная сила давления жидкости на дно сосуда равна F1  Н, высота столба жидкости в начальном состоянии равна    h1  м, а радиус его основания r1  м.

Пусть конечная сила давления давления жидкости на дно сосуда равна F2  Н, тогда высота столба жидкости в конечном состоянии равна 0,5h1,  а радиус основания равен 5r1.

Для начальных параметров известно, что

           2
F1 = ρgh1⋅πr1

Для конечных параметров известно, что

                  2            2
F2 = ρg⋅0,5h1⋅π(5r1) = 12,5ρgh1⋅πr1 =12,5F1

Тогда сила давления на дно сосуда увеличится в 12,5 раз.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#529

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: pV  = νRT  , где p  – давление в Паскалях, V  – объем в м3   , ν  – количество вещества в молях, T  – температура в кельвинах,  R  – универсальная газовая постоянная, равная 8,31  Дж/(К⋅ моль). Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть V1   – начальный объём газа в м3   , T1   – начальная температура газа в кельвинах, T2   – конечная температура газа в кельвинах (т.е. после увеличения объема в 3 раза), тогда 3V1   – конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1,
для конечных параметров известно, что
p ⋅ 3V1 = νRT2.
Умножая первое уравнение на 3  , получаем
3pV1 = 3νRT1,
откуда заключаем, что 3νRT1  = νRT2   , следовательно, T2 = 3T1   , то есть, температуру совершенного газа надо увеличить в 3  раза.
Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1601

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона

pV =νRT

Здесь p  — давление в паскалях, V  — объем в м3,  ν  — количество вещества в молях, T  — температура в кельвинах,   R  — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(K⋅м оль).  Во сколько раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть V1  — начальный объём газа в м3,  T1  — начальная температура газа в кельвинах, T2  — конечная температура газа в кельвинах. Так как объем газа увеличился в 3 раза, то 3V1  — конечный объём.

Для начальных параметров известно, что

pV1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

p⋅3V1 =νRT2

Умножая первое уравнение на 3, получаем

3pV1 = 3νRT1

Отсюда заключаем, что

3νRT1 = νRT2  ⇒   T2 =3T1

Тогда температуру совершенного газа надо увеличить в 3 раза.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1602

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона  pV = νRT.  Здесь p  — давление в паскалях, V  — объем в м3,  ν  — количество вещества в молях, T  — температура в кельвинах, R  — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в 2 раза по сравнению с первоначальным.

Во сколько раз при этом должен был увеличиться объем газа, если его температура увеличилась в 7 раз?

Показать ответ и решение

Пусть V1  — начальный объём газа в м3,  p1  — начальное давление газа в паскалях, T1  — начальная температура газа в кельвинах, V2  — конечный объем газа в м3.

Тогда 7T1  — конечная температура, 2p1  — конечное давление газа.

Для начальных параметров известно, что

p1V1 = νRT1

Для конечных параметров известно, что

2p1V2 = νR ⋅7T1

Умножая первое уравнение на 7, получаем

7p1V1 = 7νRT1

Отсюда заключаем, что

7p1V1 = 2p1V2 ⇔   V2 = 3,5V1

Тогда объем совершенного газа должен был увеличиться в 3,5 раза.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1608

Купаясь в ванне, Игорь прикинул, что на него со стороны воды действует сила Архимеда

FA =ρgV,

где ρ  — плотность воды в кг/м3,  g  — ускорение свободного падения в м/с2,  V  — объем Игоря в м3.  Игорь задумался, во сколько раз увеличилась бы сила, действующая на него со стороны воды в ванне, если при неизменной плотности его объем увеличился в 8 раз. Какой ответ должен получить Игорь?

Показать ответ и решение

Пусть до увеличения объем Игоря был равен VИгоря  м3.  Сила Архимеда, с которой на него действовала вода, была равна FA1.

Тогда после увеличения объем Игоря стал равен 8VИгоря  м3,  а сила Архимеда стала равна

FA2 = ρg⋅8VИгоря = 8ρgVИгоря = 8FA1

Значит, сила Архимеда увеличилась в 8 раз.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#280

Иван вертикально бросил камень вниз с двух башен А и В (с начальными скоростями, равными 0). В результате он обнаружил, что время падения камня с башни А равно 2 секундам, а с башни В – 2,5 секундам. Иван может приближенно рассчитать высоту любой башни по формуле       2
h =  5t   , где h  – высота этой башни в метрах, t  – время падения с неё камня в секундах. На сколько согласно подсчётам Ивана башня В выше, чем башня А? Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Первый способ:

Разность высот башен В и А равна 5 ⋅ 2, 52 − 5 ⋅ 22 = 5 ⋅ (6,25 − 4) = 5 ⋅ 2,25 = 11,25  метров.

Второй способ:

Высота башни В равна       2
5 ⋅ 2,5 = 5 ⋅ 6,25 = 31,25  метров,
высота башни А равна     2
5 ⋅ 2 = 5 ⋅ 4 = 20  метров,
башня В выше башни А на 31,25 − 20 = 11, 25  метров.

Ответ: 11,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#281

Агентство «Агентство» составляет рейтинг университетов на основании 4 показателей: P1,  P2,  P3,  P4  . Итоговый рейтинг каждого университета вычисляется по формуле

    5P + 4P + 3P − P
R = --1----2K---3---4,

где K  — некоторое число, а показатели P1,  P2,  P3,  P4  оцениваются по 100-балльной шкале. Университет «Университет» получил по 50 баллов по всем оцениваемым показателям и его рейтинг оказался R = 50.  Чему равно K?

Показать ответ и решение

50 = 5⋅50+-4⋅50+-3⋅50−-50
             K
       50=  11-⋅50-
             K
         K = 11
Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#282

Для средней кинетической энергии молекулы совершенного газа справедлива формула  mv2-  3
 2  = 2kT,  где m  — масса молекулы газа в кг, v  — средняя скорость молекулы газа в м/с, T  — абсолютная температура в кельвинах, а k  — постоянная Больцмана в Дж/К. Во сколько раз увеличится средняя скорость молекулы газа при увеличении его температуры в 4 раза?

Показать ответ и решение

Пусть v1  — начальная средняя скорость молекулы газа в м/с, T1  — начальная температура газа в кельвинах, v2  — конечная средняя скорость молекулы газа в м/с, тогда 4T1  — конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что

mv 2  3
-21-= 2 kT1

Для конечных параметров известно, что

mv22  3
 2  = 2k ⋅4T1

Умножая первое уравнение на 4, получаем

4mv12 = 4⋅ 3kT1
   2      2

Отсюда заключаем, что

   2       2
mv2- =4 mv1-  ⇒   v22 = 4v12
 2       2

С учетом v1 ≥ 0,v2 ≥ 0  получаем

v2 = 2v1

Тогда средняя скорость молекулы газа увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#283

Для системы N  материальных точек справедлив второй закон Ньютона

F = m1a1+ ⋅⋅⋅+ mN aN,

где F  – сила в ньютонах, mi  — масса i  -ой точки в кг, ai  — ускорение i  -ой точки в м/с2.  Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами m1 = 1,  m2 = 2,  m3 = 3,  m4 = 4,  m5  и ускорениями a1 = 1,  a2 = 1,  a3 = 1,  a4 = 1,     a5,  пусть сила при этом F = 30  Н. Во сколько раз увеличится сила F  при увеличении ускорения 5-ой точки в 2,5 раза?

Показать ответ и решение

Пусть m5  и a5  — начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально

F =1 ⋅1+ 2⋅1+ 3⋅1+ 4⋅1+ m5a5 =
       = 10 +m5a5 = 30 H,

откуда m5a5 =20  Н.

После увеличения ускорения 5-ой точки в 2,5 раза сила станет

F = 1⋅1+ 2⋅1+ 3⋅1+ 4⋅1 +m5 ⋅2,5a5 =

  = 10+ 2,5m5a5 = 10+ 2,5⋅20= 60 H,

то есть увеличится в 2 раза.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#284

Для системы N  материальных точек справедлив второй закон Ньютона

F = m1a1+ ⋅⋅⋅+ mN aN,

где F  — сила в ньютонах, mi  — масса i  -ой точки в кг, ai  — ускорение i  -ой точки в м/с2.  Пусть система состоит из трех материальных точек с массами m1 = m2 = 0,5m3  и ускорениями a1 = a2 = a3.  Во сколько раз увеличится сила F  при сохранении ускорений первой и второй точек и увеличении ускорения третьей точки в 4 раза?

Показать ответ и решение

Пусть mi  и ai  – начальные параметры i  -ой точки, тогда изначально

F = m1a1 +m2a2 + m3a3 = 0,5m3a3 +0,5m3a3+ m3a3 =2m3a3

После увеличения ускорения третьей точки в 4 раза сила станет равной

F = m1a1+ m2a2+ m3 ⋅4a3 = 0,5m3a3+ 0,5m3a3 + 4m3a3 = 5m3a3

Тогда сила F  увеличится в 2,5 раза.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#285

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле

ℰ = l−-l0,
     l0

где l0  — начальная длина стержня (в метрах), l  — конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) в 1,2 раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять 80% от длины, которая была в состоянии 1. Какое относительное удлинение получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

Показать ответ и решение

В состоянии 1 длина стержня стала 1,2l0,  а после перехода в состояние 2 она стала составлять

-80 ⋅1,2l0 = 0,96l0.
100

Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно

ℰ = 0,96l0−-l0-= −0,04.
       l0
Ответ: -0,04

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#287

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с n  параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле

      ℰ
I = R-+-r,
        n

где ℰ — ЭДС каждого источника в вольтах, R = 5,25  Ом — сопротивление цепи в омах, r = 3  Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила половину от силы тока короткого замыкания одного источника Iкз = ℰ.
     r  Сколько элементов ЭДС в цепи?

Показать ответ и решение

После подстановки в уравнение

--ℰ-r = 1⋅ ℰ
R + n   2  r

известных значений получим

   ℰ      1 ℰ
5,25+-3 = 2 ⋅-3
      n

Последнее равносильно ---1-3-= 1,
5,25+ n   6  то есть 5,25+ 3-= 6,
     n  откуда находим n= 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#530

Объем спроса Q  единиц в месяц на продукцию предприятия N  зависит от цены P  в тыс. руб. по формуле Q (P) = 50 − P 2   . Месячная выручка R  в тыс. руб. предприятия N  вычисляется по формуле R  = P ⋅ Q  . Определите наименьшую цену P  , при которой месячная выручка R  составит 136  тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Показать ответ и решение

R  = P ⋅ Q = 50P  − P 3   . Месячная выручка составит 136  тыс. руб. при цене P  , которая может быть найдена из уравнения

50P − P 3 = 136      ⇔      P 3 − 50P + 136 =  0.
Можно угадать один из корней последнего уравнения: P =  4  . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение (P − 4 )  при помощи деления столбиком:
  3       2               |
P  + 0 ⋅ P −  50P + 136   | ----P-−--4-----
P-3 −--4P-2-              | P 2 + 4P − 34
       4P 2 − 50P         |
       4P-2 −-16P--       |
            − 34P + 136   |
            −-34P-+-136-  |
                       0  |

Таким образом,

  3                          2
P  −  50P + 136 =  (P − 4)(P  + 4P  − 34).
Рассмотрим отдельно уравнение P 2 + 4P − 34 =  0  . Его корни P =  − 2 ± √38-  .

В итоге уравнение   3
P  −  50P + 136 =  0  имеет корни                     √ ---            √ ---
P1 =  4, P2 = − 2 +   38, P3 = − 2 −   38  . Так как цена P >  0  , то P3   не подходит.

Среди P1   и P2   меньшим является P1 = 4  (так как      √ ---      √ ---
P2 =   38 − 2 >   36 − 2 = 6 − 2 =  4  ).

Итого: наименьшая цена P  , при которой месячная выручка R  составит 136  тыс. руб., равна     4  тыс. руб.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#926

Материальная точка P  движется по прямой так, что её скорость в каждый момент времени t  может быть найдена по формуле ⃗v(t) = (x2(t) + x(t) + t)⃗ex  , где x(t)  – координата точки P  . Известно, что при t ∈ (− 1;0)  точка двигалась в направлении ⃗ex  , а при t ∈ (0;1)  – в противоположную сторону. Найдите x(0)  , если известно, что через положение x = 0  точка не проходила.

Показать ответ и решение

Так как при t ∈ (− 1;0)  точка двигалась в направлении ⃗ex  , а при t ∈ (0;1)  – в противоположную сторону, то в момент t = 0  скорость точки должна быть равной 0  , откуда

                            [
                               x(0) = 0
x2(0) + x (0) = 0    ⇔
                              x(0) = − 1,
но положение x = 0  точка не проходила, следовательно, ответ: x (0 ) = − 1  .
Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#944

Астероид вытянутой формы летит со скоростью 9000  км/с относительно Игоря, который неподвижно стоит на Земле. Длина астероида, которую наблюдает Игорь в телескоп, может быть найдена по формуле

    ∘ ----2-
l = lн 1− v-,
         c2

где lн  – длина неподвижного относительно Игоря астероида, v  км/с – скорость астероида, c= 300000  км/с – скорость света. Игорь уверен, что наблюдаемая им длина астероида равна   √ ----
0,2  9991  км. Чему тогда равна длина неподвижного относительно Игоря такого же астероида? Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Так как

 2  (  )2
v2 =  v  ,
c     c

то в рассматриваемом случае

v2  (  9000  )2  ( 3 )2     9
c2 =  300000-  =   100-  = 10000

Теперь все имеющиеся данные подставим в формулу:

  √ ----   ∘ -----9---   ∘ 9991--   √9991
0,2 9991= lн  1− 10000 = lн  10000 = lн-100-.

В итоге

  √ ----   √9991-
0,2 9991= lн--100-     ⇔    lн = 20
Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1270

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон

  k         8     4
pV  = 1,25 ⋅10  Па⋅м ,

где p  — давление в газе в паскалях, V  — объем газа в кубических метрах,     4
k = 3.

Найдите, какой объем V  в кубических метрах будет занимать газ при давлении p,  равном     5
2 ⋅10  Па.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

        4                √---
2⋅105⋅V 3 = 1,25⋅108 ⇔   3V 4 = 103⋅ 10⋅ 1 ⇒
           (      ) 3              8  2
   ⇒   V =  104⋅-1  4 = 103⋅-1 = 1000-= 125
                24         23    8
Ответ: 125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1603

Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна

I =--ℰ--,
   R + r

где ℰ — ЭДС источника в вольтах, R  — сопротивление цепи в омах, r = 3  Ом — внутреннее сопротивление источника. При каком сопротивлении цепи сила тока будет составлять 0,3 от силы тока короткого замыкания

     ℰ-
Iкз = r ?

Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Условие I = 0,3Iкз  равносильно тому, что

-ℰ---=0,3⋅ ℰ- ⇔   --1--= 0,3⋅ 1  ⇔
R+ 3       3      R + 3      3
   ⇔   --1--= 0,1   ⇔   R+ 3= 10
       R +3

Отсюда находим R = 7  Ом.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1604

Антон метнул копьё под углом φ  к горизонтальной поверхности земли. Продолжительность полета копья в секундах можно найти по формуле

   2v sinφ
t= --0g---.

При каком наименьшем значении угла φ  в градусах время полета копья будет 3,2 секунды, если Антон метнул его с начальной скоростью v0 = 32  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g =10 м/с2.

Показать ответ и решение

Значение угла φ,  при котором время полета копья будет 3,2 секунды, можно найти из уравнения

3,2= 2-⋅32-⋅sinφ   ⇔   sinφ = 0,5.
         10

Наименьшее неотрицательное значение φ,  при котором sinφ = 0,5  равно 30∘.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1606

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом α  к горизонту с начальной скоростью v0  м/с, может быть найдено по формуле

    2
l = v0-sin(2α),
       g

где l  — расстояние в метрах, g = 9,8 м/с2  — ускорение свободного падения.

С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом 30∘ к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было равно  √ -
45-3-
 2  метра? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

Вычислим синус двойного угла из условия:

                   √-
sin(2 ⋅30∘)= sin 60∘ = -3-
                   2

Тогда искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения

  √ -    2 √3
45--3= v0-⋅-2-
  2      9,8

Отсюда v02 = 441  и v0 =±21.  Так как v0 ≥ 0,  то v0 =21  м/с.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1607

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы m1   кг и m2   кг, находящимися на расстоянии R  метров, может быть найдена по формуле

F  = G m1m2--,
         R2
где G  – гравитационная постоянная. Во сколько раз должно увеличиться расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась в 25 раз?
Показать ответ и решение

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна F1   Н, а начальное расстояние между ними равно R1   м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно R2   , тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет

 1
---F1.
25

Для начальных параметров известно, что

       m1m2--
F1 = G     2 ,
         R1
а для конечных параметров известно, что
1         m1m2
--F1 =  G ---2--.
25         R2
Умножая второе уравнение на 25  , получим
          m1m2
F1 = 25G  ---2-,
           R2
откуда
    m1m2       m1m2
25G ----2- = G ----2-,
     R2         R1
откуда R22 =  25R12   , что равносильно R2 =  ±5R1   , но R1  > 0,R2 >  0  , тогда R2 =  5R1   .
Ответ: 5
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!