14.17 Нахождение объема или площади поверхности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь полной поверхности тетраэдра равна . Найдите площадь полной поверхности пирамиды, вершинами которой являются точки пересечения медиан граней данного тетраэдра.
Пусть – тетраэдр, точки — точки пересечения медиан в гранях
соответственно.
1) Т.к. медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Следовательно, по углу и двум прилежащим пропорциональным сторонам. Таким образом, ( как соответственные) и .
Аналогичным образом можно доказать, что , .
2) с коэффициентом , то есть . А вот с коэффициентом (т.к. – средняя линия), то есть .
Следовательно, .
Аналогично доказывается, что , .
3) Таким образом, все ребра тетраэдра в три раза меньше соответствующих ребер тетраэдра , а это значит, что каждая грань тетраэдра подобна с коэффициентом соответствующей грани тетраэдра .
4) Т.к. площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то площадь каждой грани тетраэдра равна от площади соответствующей грани тетраэдра . Следовательно,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!