Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Источники:
Пусть средний балл в школе №1 равен средний балл в школе №2 равен
а
количество учащихся в первой школе —
Тогда количество учащихся во второй
школе равно
а) Пусть такое возможно. Суммарный балл до перехода учащегося из школы
№1 в школу №2 былл После перехода учащегося средний балл вырос в два
раза, то есть стал
а количество учащихся стало
Тогда суммарный
балл после перехода учащегося стал
Посмотрим, на сколько
уменьшился суммарный балл:
Так как по условию, то
то есть
Так как
каждый учащийся набрал натуральное число баллов, то суммарный балл после
перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится на положительное число.
Противоречие.
б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал
баллов. Так как средний балл в школе №1 вырос на
то он стал
при этом количество учащихся стало на 1 меньше, то есть
Во второй школе количество учащихся стало
а
средний балл стал на 10% больше, то есть
Суммарный балл в первой
школе равен сумме баллов учащегося, который перешел во вторую школу и
суммарному баллу в первой школе после перехода этого учащегося, то
есть
Так как — натуральное число по условию, то
— натуральное число, а
значит, и
— натуральное число. Тогда
Аналогично
По условию Тогда
Так как количество баллов каждого
учащегося — натуральное число, то
делится на 10. Так как
то
Противоречие, так как средний балл по условию — целое число.
в) По условию — целое число. Значит,
По пункту б
значит,
Пусть
Из пункта б:
Подставим
Значит, делится на 5, при этом по доказанному ранее
Тогда
или
Пусть Тогда
По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.
Пусть Тогда
По условию средний балл — целое число, значит, такой вариант невозможен.
Значит, Тогда имеем уравнение
Приведём пример, в котором
Если
то средний балл
в школе №1 равен
Пусть
у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла.
Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен
После
перехода учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен
Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3. Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1 средний балл стал равен
а) Нет
б) Нет
в) 3
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!