Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано четырехзначное число где
и
— соответственно цифры
разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причем
а) Может ли произведение быть больше суммы
в 5
раз?
б) Цифры и
попарно различны. Сколько существует различных чисел
таких, что
в) Известно, что где
— двузначное число. При
каком наибольшем значении
число
будет наибольшим?
Источники:
а) Число 1285 подойдет:
б) Разберем несколько случаев:
- Если в числе
есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.
-
Если в числе
есть цифра 1, то есть два варианта:
- 1)
- В числе
нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы
что больше наибольшей суммы цифр, равной
- 2)
- В числе
есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем
а сумма цифр не больше чем
И в этом случае произведение больше суммы.
- Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны,
их произведение равно хотя бы
а сумма не больше
Значит, неравенство выполнено.
Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все
цифры различны и нет цифры 0. Их так как первую цифру
можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой — значит,
выбрать ее есть 8 способов, и так далее.
в) Очевидно, что если при каких-то
и
число
— наибольшее, то
ни одна из цифр не равна 0.
Будем перебирать значения Так как
— двузначное число, то
Начнем перебор.
- Если
то
делится на 11. Такое невозможно, так как
— цифры.
-
Если
то
делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности
где
Тогда имеем:
Значит,
и
должны быть степенями двойки. Но
следовательно,
поэтому
равняется 1 или 2. Также,
следовательно,
поэтому
равняется 1, 2 или 4. Таким образом,
Противоречие.
- Если
то
делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как
— цифры.
На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно
а сумма цифр равна
Тогда
Значит, наибольшее число при котором
равно 9885.
а) Да
б) 3024
в) 9885
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!