Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.06 НОК, НОД и взаимная простота чисел

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#741

Коля получает пятёрку через каждые 6  дней, Вася получает пятёрку через каждые 9  дней, а Андрей получает пятёрку через каждые 15  дней. Те дни, когда они втроём получают по пятёрке, они называют днями икс. Через сколько дней наступит следующий день икс, если известно, что сегодня тоже день икс?

Показать ответ и решение

Количество дней до следующего дня икс равно НО К (6;9;15) = Н ОК (2 ⋅ 3; 3 ⋅ 3; 3 ⋅ 5 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90  .

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#742

Известно, что a,b ∈ ℕ  взаимно просты и дробь 3a + 5b
--------
5a + 3b  сократима на число d ∈ ℕ  , d ⁄= 1  . Найдите наибольшее возможное d  .

Показать ответ и решение

Так как требуется найти наибольшее возможное d  , то

d =  НО Д (3a + 5b;5a + 3b).

Число 5(3a + 5b) − 3 (5a + 3b ) = 16b  делится на d  . Число 5(5a + 3b) − 3 (3a + 5b) = 16a  делится на d  . Так как a  и b  взаимно просты, то 16  делится на d  .

Проверим, может ли быть d =  16  . Число 3a + 5b − (5a + 3b) = 2(b − a )  делится на d  . Если d = 16  , то (b − a)  делится на 8  .

Возьмём, например, b = 9  , a = 1  , тогда

3a-+-5b-  48-   16-⋅ 3
5a + 3b = 32  = 16 ⋅ 2 ,

то есть d = 16  – подходит.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#743

Известно, что a,b∈ ℕ,  при этом ab= 2016.  Какое наибольшее значение может принимать НО Д(a;b)?

Показать ответ и решение

Пусть d= НО Д(a;b),  тогда оба числа a  и b  делятся на d,  следовательно, ab  делится на d2.

Разложим число 2016 на простые множители:

      5  2
2016 =2 ⋅3 ⋅7

Рассмотрим наибольший полный квадрат, на который может делиться 2016:

 4  2    2
2  ⋅3  =12   ⇒   d ≤12

Проверим, может ли быть так, что d= 12.  Пусть d= 12,  тогда для некоторых натуральных m  и n  имеем:

     a= 12m, b= 12n

144mn  =2016  ⇒   mn = 14

Положим m = 2,  n = 7,  тогда получим

  a= 24, b= 84, ab =2016
НО Д(a;b)= НО Д(24;84)= 12

Таким образом, наибольшее возможное значение Н ОД(a;b)  равно 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1694

Найдите НОД(34,1717 )  .

Показать ответ и решение

НОД(34, 1717) =  НОД(2 ⋅ 17, 101 ⋅ 17) = 17,  так как НОД(2,101) = 1  .

Ответ:

17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1695

Докажите, что дробь 18n + 1
--------,
45n + 1  где n ∈ ℤ,  несократима.

Показать ответ и решение

Пусть НОД(18n +  1,45n + 1) = a  , тогда по определению наибольшего общего делителя          .
(18n + 1)..a  и          ..
(45n + 1 ).a  , но тогда                          ..
(5 (18n +  1) − 2(45n + 1)).a  .

Так как 5(18n + 1) − 2(45n + 1) = 90n + 5 − 90n −  2 = 3  , то 3...a  , значит, a  равно либо 1  , либо 3  .

Но так как 18n + 1  не делится на 3  , то a =  1  , следовательно, НОД(18n + 1,45n + 1 ) = 1  .

 

Таким образом, дробь 18n--+-1
45n  + 1  – несократима.

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2709

Найдите НОД(60,539)  .

Показать ответ и решение

НОД(60, 539) =  НОД(22 ⋅ 3 ⋅ 5,72 ⋅ 11) = 1  , так как в разложении чисел 60 и 539 нет одинаковых простых множителей.

Ответ:

1

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!