Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тимур придумал бесконечную последовательность действительных чисел, в которой первые 10 членов
натуральные числа, а каждый член, начиная с третьего, равен остатку от деления предпредыдущего
члена на предыдущий член, либо (то есть, например,
равен остатку от деления
на
, либо
).
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Назовём периодом последовательности наименьшее натуральное число , такое что, начиная с
некоторого номера
, для любого
выполняется
. Найдите период
последовательности Тимура.
а) Будем искать такую последовательность в виде
Данная система эквивалентна системе
Таким образом, можно взять, например, ,
. При этом получим последовательность
б) Если какой-то из членов последовательности равен , то, начиная с него, все члены
последовательности равны
(так как результат деления на
не может совпасть ни с каким
действительным числом).
Пусть никакой из членов последовательности не равен .
1) Пусть . Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то
, то
есть последовательность убывает.
При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами ( мы запретили),
то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим
предыдущего по крайней мере на
.
Тогда член последовательности с номером должен быть натуральным числом, меньшим, чем
по крайней мере на
, что невозможно.
2) Пусть , тогда
и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений
,
, ...,
и дословного повторения рассуждения для последовательности
.
Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не
равен , не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны
и, значит,
.
а)
б)
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!