Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.14 Квадратный трехчлен

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#733

При каких значениях параметра a  сумма корней уравнения

 4     2    2
ax − 4a x+ x + a + 5x = 0

будет наибольшей?

Показать ответ и решение

a4x − 4a2x + x2 + a+ 5x = 0  ⇔     x2 + (a4 − 4a2 + 5)x + a = 0   ⇔
        2     2    2
 ⇔     x + ((a − 2) + 1)x + a = 0

По теореме Виета сумма корней этого уравнения (если у него они есть) равна

    2    2
− ((a − 2) + 1).

Данное выражение будет наибольшим при a2 = 2,  то есть при a = ± √2.

Остаётся только проверить, что при a = ± √2  у уравнения будут корни. При a = √2 :

x2 + x + √2 = 0

Так как дискриминант         √ -
D = 1− 4  2 < 0,  то у данного уравнения нет корней, следовательно,     √-
a =  2  нам не подходит. При       √-
a = −  2 :

        √-
x2 + x − 2 = 0

Так как дискриминант         √ -
D = 1+ 4  2 > 0,  то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при      √ -
a = −  2.

Ответ:

− √2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2025

При каких значениях a ⁄= − 1  сумма корней данного уравнения будет наименьшей?

       2          2                2          3
(a+ 1)x − (a(2a − 3) + 1+ a+ (3− 2a) )x − (a+ 2) = 0
Показать ответ и решение

По теореме Виета сумма корней этого уравнения при a ⁄= − 1  (если у него они есть) равна

a(2a− 3)2 + 1+ a + (2a − 3)2  (a+ 1)((2a − 3)2 + 1)
-----------a+-1-----------= -------a-+1--------= (2a− 3)2 + 1

Данное выражение будет наименьшим при a = 1,5.

Остаётся только убедиться, что при a = 1,5  у уравнения будут корни. При a = 1,5 :

2,5x2 − 2,5x− (3,5)3 = 0

Так как дискриминант D = (2,5)2 + 4⋅2,5⋅(3,5)3 > 0,  то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при a = 1,5.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2737

Не решая уравнения 3x2− 21x +30= 0  найдите значение выражения x1+ x2+x1x2,  если известно, что x1,  x2  – корни этого уравнения.

Показать ответ и решение

По теореме Виета         21
x1 + x2 = 3 = 7,          30
x1 ⋅x2 =  3 = 10,  следовательно,

x1 + x2 + x1x2 = 17
Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#734

При каких значениях параметра a  значение выражения √ -          3
  e⋅(− x1 − x2) − π,  где x1,  x2  – корни уравнения

   4       2    2
− 4a x + 12ax + x − 11x +8a = 0

будет наибольшим?

Показать ответ и решение

− 4a4x + 12a2x+ x2 − 11x + 8a = 0  ⇔      x2 − (4a4 − 12a2 + 11)x + 8a = 0 ⇔
       2      2    2
⇔     x − ((2a − 3) + 2)x + 8a = 0

По теореме Виета (если у данного уравнения есть корни)

           2    2
x1 + x2 = (2a − 3) + 2

Данное выражение положительно при любом a,  следовательно,

√e⋅(− x − x )3 − π = − √e-⋅(x + x )3 − π < 0
       1   2               1   2

– при любом a  , тогда значение выражения √e ⋅(− x1 − x2)3 − π  максимально при тех же a,  при которых минимально значение выражения x1 + x2.

Значение выражения x  + x
 1    2  будет наименьшим при a2 = 3,
     2  то есть при      ∘ --
a = ±  3.
       2

Остаётся только проверить, что при      ∘ --
a = ±  32  у уравнения будут корни. При     ∘ --
a =   32 :

         ∘ --
 2         3
x + 2x+ 8  2 = 0

Так как дискриминант D = 4− 32∘ 32-< 0,  то у данного уравнения нет корней, следовательно, a = ∘-32  нам не подходит. При      ∘ --
a = −  3:
       2

           --
 2       ∘ 3
x + 2x− 8  2 = 0

Так как дискриминант          ∘ --
D = 4+ 32  32 > 0,  то у данного уравнения есть два корня.

В итоге ответ: при      ∘ 3-
a = −  2.

Ответ:

 ∘ 3-
−  2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2024

Не решая уравнения   2
2x − 3x + 1 = 0,  найдите значение выражения

   ( 1    1)
sin  x- + x-  ,
      1   2

если известно, что x1,  x2  – корни этого уравнения.

Показать ответ и решение

   ( 1    1)      ( x2 + x1)
sin  x-+ x-  = sin  x--⋅x---
      1   2          1   2

 

По теореме Виета x1 + x2 = 3,
         2  x1 ⋅x2 = 1
        2  , следовательно,

   (       )     (    )
    x2-+-x1        1,5
sin   x1 ⋅x2  = sin  0,5  = sin 3
Ответ:

sin3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2128

Антон предложил гипотезу: пусть есть квадратный трёхчлен P (x)= ax2+ bx+ c,  тогда у него найдутся два различных корня если и только если P2(0)>4P(−1)P(1).  Прав ли он?

Показать ответ и решение

Чтобы показать, что Антон не прав, достаточно придумать многочлен P(x),  такой что x= 1  – его единственный корень.

Таким образом, например, многочлен P(x)= (x − 1)2  опровергает гипотезу Антона, ведь P2(0)= 1> 0= 4P(1)⋅P(−1),  но у данного многочлена нет двух различных корней.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2129

Вова прислал Маше фотографию многочлена вида P(x)= ax2 +bx+ c  и утверждает, что P (0)= 1,  P(1)= 2,  P(2)= 4,  при этом существуют m,n∈ ℕ  такие, что P (mn)− P(nm-) – иррационально. Маша утверждает, что Вова ошибся. Права ли Маша?

Показать ответ и решение

(|   1 = P(0) = c
{
|(   2 = P(1) = a+ b +c
    4 = P(2) = 4a+ 2b+ c

Тогда

0 = P(2)− 2P (1) = 2a− c = 2a − 1   ⇒     a = 0,5

Следовательно,

b = 2 − a− c = 2 − 0,5 − 1 = 0,5

Таким образом, Вовин многочлен может быть только           2
P(x) = 0,5x +0,5x + 1,  но тогда   (  )
   p
P  q – рационально при любых p,q ∈ ℕ,  следовательно,

 (   )    (  )
P  m- − P  -n
   n       m

– рационально при любых m,n ∈ ℕ.

Ответ: Да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2529

Даны квадратные трехчлены f1(x)=x2 +2a1x+b1,  f2(x)= x2+ 2a2x+ b2  и f3(x)=x2+ 2a3x+b3.  Известно, что a1a2a3 = b1b2b3 >1.  Может ли оказаться, что ни один из этих трехчленов не имеет более одного корня?

Показать ответ и решение

Допустим, что все три трехчлена имеют не более одного корня. Это значит, что их дискриминанты неположительны:

(|D  = 4a2− 4b  ≤ 0        (| a2≤ b
{  1    12    1            {  12   1
|(D2 = 4a2 − 4b2 ≤ 0   ⇔   |( a2 ≤ b2
 D3 = 4a23 − 4b3 ≤ 0         a23 ≤ b3

Так как любое число в квадрате неотрицательно, то можно умножить обе части первого неравенства на a22 :  (a1a2)2 ≤ b1 ⋅a22 ≤ b1b2.  Аналогично умножим на a23  и получим:

       2
(a1a2a3)  ≤ b1b2b3

Но по условию задачи a1a2a3 = b1b2b3,  следовательно, получаем:

       2
(a1a2a3)  ≤ a1a2a3   ⇔   (a1a2a3 − 1)⋅a1a2a3 ≤ 0

 

Так как к тому же по условию a a a > 1,
 1 2 3  то получаем, что должно быть выполнено: a a a ≤ 0,
 1 2 3  что противоречит условию.

Таким образом, предположение неверно и ответ: нет.

Ответ: нет
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!