Тема 18. Задачи с параметром

18.23 Графика. Функции с модулем: корыто и другие

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#10857

При каких значениях параметра a  уравнение

|2x − 2|+ |x − 3|= ax − 3a

имеет ровно одно решение?

Показать ответ и решение

Обозначим f(x) = |2x− 2|+ |x− 3|, g(x)= ax− 3a.

Возможны три случая раскрытия модулей в левой части, поскольку первый модуль меняет знак в точке x= 1,  второй — в точке x = 3:

1.

x∈ (− ∞;1)  ⇒   f(x)= −(2x− 2)− (x − 3)= −3x+ 5

2.

x∈ [1;3]  ⇒   f(x)= (2x− 2)− (x − 3)= x+ 1

3.

x∈ (3;+ ∞)  ⇒   f(x)= (2x− 2)+(x − 3)= 3x− 5

Резюмируя, получим

                     (
                     ||| −3x+ 5, x < 1
                     {
f(x)= |2x − 2|+ |x − 3|= ||| x+ 1,  1 ≤ x≤ 3
                     ( 3x− 5,  x > 3

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на наклонной прямой y = x +1.

Правая часть задает пучок прямых, проходящих через точку A (3;0),  так как g(3)= 0  независимо от выбора a.  При этом как обычно вертикальная прямая не входит в пучок.

PIC

  • В положении I  прямая пучка проходит через левый угол корыта — точку (1;2):

    2 =g(1)= a(1 − 3)  ⇔   a = −1
  • В положении II  прямая пучка параллельна левой ветке корыта y =− 3x+ 5,  а значит, их угловые коэффициенты равны a = −3.
  • В положении III  прямая пучка параллельна правой ветке корыта y = 3x− 5,  а значит, их угловые коэффициенты равны a= 3.

Видим, что прямая пучка имеет ровно одно пересечение с корытом в положении I,  а также между положениями II  и   III,  включая II  и не включая III,  за исключением вертикальной прямой.

Переходя к угловым коэффициентам, получаем

a ∈(−∞; −3]∪ {−1}∪ (3;+∞ )
Ответ:

a ∈(−∞; −3]∪ {−1}∪ (3;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

4

Ответ отличается от верного невключением либо a =− 1,  либо a =− 3  или включением a= 3

3

ИЛИ

Недостаточное обоснование построения

Рассмотрены верно два из трёх взаимных расположений графиков функций с верным нахождением значений параметра a,  или найдены все граничные точки искомого множества значений параметра a

2

Верное сведение к исследованию графически или аналитически, при этом может быть верно найдено хотя бы одно из значений параметра a

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!