А.Н. Островский всю жизнь уделял серьёзное внимание работе над языком: он следил (ЗА)ТЕМ (в данном случае ЗА ТЕМ – местоимение с предлогом, можно задать вопрос «за чем именно?», пишется раздельно), ЧТО(БЫ) (в данном случае ЧТОБЫ – союз, пишется слитно, имеет значение цели) каждая фраза соответствовала выдвинутой идее.

Из чащи на опушку выскочил заяц, но, сделав прыжок, (ТОТ)ЧАС (в данном случае ТОТЧАС – наречие, имеет значение «сразу, в этот момент», пишется слитно) же бросился (НА)УТЁК (НАУТЁК – наречие, имеет значение «быстро убегая от кого-либо или чего-либо», всегда пишется слитно, запомнить)

ВРЯД(ЛИ) (ВРЯД ЛИ – частица, всегда пишется раздельно, запомнить) нам (ВО)ВРЕМЯ (в данном случае ВОВРЕМЯ – наречие, имеет значение «в подходящий момент, к определённому времени», пишется слитно) удастся укрыться от дождя.

Полина Ивановна слушала всё ТАК(ЖЕ) (в данном случае ТАК ЖЕ – наречие с частицей, есть пояснительное слово «всё», пишется раздельно) невозмутимо, разве чуть повнимательнее, чем (В)НАЧАЛЕ (в данном случае ВНАЧАЛЕ – наречие, имеет значение «сначала, в первое время», пишется слитно)

Актёр вышел на площадку, устроенную (В)ВИДЕ (В ВИДЕ – производный предлог, имеет значение «форма проявления, реализации чего-либо», всегда пишется раздельно, запомнить) просторного стеклянного павильона (С)ЗАДИ (СЗАДИ – наречие; пишутся слитно наречия с пространственным значением, которые имеют в своем составе существительное «ЗАД»)  вагона.