В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Старик хотел поймать особенную рыбу, и он долго шёл к своей цели.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: старик хотел поймать; он шёл. Нет общих второстепенных. Перед союзом И ставим запятую.

2) В ярко освещённом зале танцевали пары и пожилые джентльмены беседовали о политике.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: танцевали пары; джентльмены беседовали. Есть общее второстепенное обстоятельство (в ярко освещённом зале). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.

3) На окне лежали сливы, и мальчик с интересом поглядывал на них.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: лежали сливы; мальчик поглядывал. Нет общих второстепенных. Перед союзом И ставим запятую.

4) В лицейские годы Александр Пушкин писал поэмы, и эпиграммы, и дружеские послания.

Однородные: поэмы, и эпиграммы, и дружеские послания. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

5) Артисты исполнили не только вальс и мазурку, но и полонез, менуэт.

Однородные: вальс, мазурку, полонез, менуэт. Вальс, мазурку. Два однородных соединены при помощи союза И; запятая не нужна. Полонез, менуэт. Два однородных НЕ соединены при помощи союза; запятая нужна. Эти пары однородных (вальс и мазурку — полонез, менуэт) соединяются при помощи двойного союза НЕ ТОЛЬКО ... , НО И. Этот союз требует запятой ВСЕГДА.