В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) В нашем доме живут не только работники университета, но и их родственники.

Однородные: работники, родственники. Запятая нужна, т.к. они соединены при помощи двойного союза НЕ ТОЛЬКО ... , НО И ... . Этот союз требует запятой ВСЕГДА.

2) На преподавателя Сергей даже не посмотрел, и как ни в чём не бывало он продолжил рисовать в тетради.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: Сергей не посмотрел; он продолжил рисовать. Перед союзом И ставим запятую.

3) Возле рынка голуби постоянно устраивали драки и бездомные псы рыскали в поисках пропитания.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: голуби устраивали; псы рыскали. Есть общее второстепенное обстоятельство (возле рынка). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Именно поэтому перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.

4) Учитель проверил все сочинения и изложения и пошёл домой.

Первая пара однородных: сочинения и изложения. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

Вторая пара однородных: проверил и пошёл. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

5) В новой кофейне всё было прекрасно: вкусный кофе, и приятная музыка, и изящный интерьер.

Однородные: вкусный кофе, и приятная музыка, и изящный интерьер. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.