В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Всю зиму Алексей болел, и лишь весной он начал усиленно готовиться к экзаменам.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: Алексей болел; он начал готовиться. Нет общих второстепенных. Перед союзом И ставим запятую.

2) Она провинилась и пришла с тортом и цветами извиняться перед подругой.

Первая пара однородных: провинилась и пришла извиняться. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

Вторая пара однородных: с тортом и цветами. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

3) Малыш увидел под ёлкой красную пожарную машину, и красивого плюшевого медведя, и коробку с конструктором.

Однородные: пожарную машину, и плюшевого медведя, и коробку с конструктором. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

4) В течение смены воспитатели заботились о благополучии детей и вожатые трудились не покладая рук.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: воспитатели заботились; вожатые трудились. Есть общее второстепенное обстоятельство (в течение смены). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Именно поэтому перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.

5) В синих и красных папках, в жёлтых и зелёных коробках лежали многочисленные письма от поклонников.

Первая пара однородных: в папках, в коробках. Запятая нужна, т.к. однородные НЕ соединены при помощи союза.

Вторая пара однородных: синих и красных (зависят от слова ПАПКАХ). Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

Третья пара однородных: жёлтых и зелёных (зависят от слова КОРОБКАХ). Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.