В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Посетители ресторана увлечённо беседовали и не обращали внимания ни на суетливых официантов, ни на громкую музыку, ни на хмурую погоду за окном.

Однородные: ни на официантов, ни на музыку, ни на погоду. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов НИ ... , НИ ... , НИ ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

2) Норвежский лыжник не смог завоевать две золотые медали и очень расстроился.

Простое предложение. Пара однородных: не смог завоевать и расстроился. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

3) В столярной мастерской ребёнок с удивлением рассматривал и блестящие гвозди, и инструменты с разноцветными ручками, и красивые пузырьки с лаком и морилкой.

Однородные: и гвозди, и инструменты, и пузырьки. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов И ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

4) В январе студент приступил к написанию дипломной работы, и уже к концу марта она была готова.

Две основы: студент приступил; она была готова. Союз И соединяет две части сложного предложения. Общего второстепенного члена предложения нет. Запятая нужна. Однородных нет.

5) Не только серебряные ложки, но и старинные фотографии достались ей в наследство от бабушки.

Однородные: ложки, фотографии. Запятая нужна, т.к. они соединены при помощи двойного союза НЕ ТОЛЬКО ... , НО И ... . Этот союз требует запятой ВСЕГДА.