В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Антрополог М.М. Герасимов провёл реконструкцию внешнего облика Андрея Боголюбского и Ивана Грозного, и все были удивлены их поразительным внешним сходством.

Две основы: «антрополог М.М. Герасимов провёл»; «все были удивлены». Союз «И» соединяет две части сложного предложения. Общего второстепенного члена предложения нет. Запятая нужна. Однородные: «Андрея Боголюбского и Ивана Грозного». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

2) Каждый вечер отдыхающие прогуливались по пляжу и любовались заходящим солнцем.

Простое предложение. Пара однородных: «прогуливались и любовались». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

3) В 1380 году коалиция русских князей собрала небывалой величины войско и силы Мамая были разгромлены на Куликовом поле.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «коалиция собрала»; «силы Мамая были разгромлены». Есть общее второстепенное обстоятельство («в 1380 году»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом «И» запятую НЕ СТАВИМ.

4) В 1380 году коалиция русских князей собрала небывалой величины войско, и тогда силы Мамая были разгромлены на Куликовом поле.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «коалиция собрала»; «силы Мамая были разгромлены». Обстоятельство времени «в 1380 году» не является общим для обеих частей, т.к. во второй части есть другое обстоятельство времени – «тогда». Перед союзом «И» запятую СТАВИМ.

5) В пустыне росли три пальмы и тёк ручей.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «росли три пальмы»; «тёк ручей». Есть общее второстепенное обстоятельство (в пустыне). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом «И» запятую НЕ СТАВИМ.