В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Стало холоднее, и в будке собака глубже зарылась в тёплое сено.

Две основы: «стало холоднее»; «собака зарылась». Союз «И» соединяет две части сложного предложения. Запятая нужна.

2) В произведениях Джейн Остин описываются быт и нравы английских аристократов и рассматриваются проблемы воспитания.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «описываются быт и нравы»; «рассматриваются проблемы». Есть общее второстепенное обстоятельство («в произведениях Джейн Остин»). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом «И» запятую НЕ СТАВИМ.

3) Режиссёр Юрий Быков обещал уйти из киноиндустрии в 2018 году, и он опечалил этим многих своих поклонников.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: «Юрий Быков обещал уйти»; «он опечалил». Нет общих второстепенных. Перед союзом «И» ставим запятую.

4) Александр Легков одержал победу в лыжном марафоне на Олимпиаде в Сочи и этим осчастливил всех россиян.

Простое предложение. Одна основа: «Александр Легков одержал победу и осчастливил». Однородные: «одержал победу» и «осчастливил». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».

5) В своих произведениях Джейн Остин описывает быт и нравы английских аристократов и рассматривает проблемы воспитания.

Простое предложение. Одна основа: «Джейн Остин описывает и рассматривает». Однородные: «описывает» и «рассматривает». Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза «И».