Князя Андрея раздражал холодный, НЕ ПРОПУСКАЮЩИЙ в душу взгляд Сперанского. — полное причастие; пишется с НЕ раздельно, так как имеет зависимые слова («в душу»)

Директор НЕ УСПЕЛ закончить фразу, как вдруг руку поднял Потапов. — глагол; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)

Мы так и остались в НЕДОУМЕНИИ, когда странный гость внезапно удалился. —  существительное; пишется с НЕ слитно, так как без НЕ слово не употребляется; запомнить 

Коль нет цветов среди зимы, так и грустить о них НЕ НАДО. — слово категории состояния (предикативное наречие); всегда пишется раздельно с НЕ

По мнению Базарова, роль общества важнее, чем влияние отдельной личности: «Исправьте общество, и болезней НЕ БУДЕТ». — глагол; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)