В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) В 1856 году в немецком городе Карлсруэ вышло в свет первое издание поэмы “Демон” бывшего поручика Тенгинского полка М.Ю. Лермонтова, и в том же году в Омске в семье штабс-капитана того же Тенгинского пехотного полка А.М. Врубеля родился сын — будущий художник Михаил Врубель.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: вышло в свет издание; родился сын. Нет общих второстепенных. Перед союзом И ставим запятую.

2) Многие полотна И.К. Айвазовского воспринимаются как музыкальные или стихотворные импровизации.

Однородные: музыкальные ИЛИ стихотворные. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза ИЛИ.

Перед союзом КАК запятой НЕТ, т.к. он помогает передать значение “в качестве” (оборот является частью сказуемого).

3) Впервые за столь долгие военные годы из парка доносился звонкий детский смех и врезался в воздух скрип проржавевших от дождей качелей.

Сложное предложение с сочинительной связью. Основы: доносился смех; врезался скрип. Есть общее второстепенное обстоятельство (впервые за столь долгие военные годы). Оно зависит от обеих частей сложного предложения. Перед союзом И запятую НЕ СТАВИМ.

4) С поэтами-декабристами композитора А.А. Алябьева связывали как общие взгляды, так и многие обстоятельства жизни и тяжёлой личной судьбы.

Первая пара однородных: как взгляды, так и обстоятельства. Запятая нужна, т.к. однородные соединены при помощи двойного союза КАК ... , ТАК И. Этот союз требует запятой ВСЕГДА.

Вторая пара однородных: жизни и судьбы. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

5) В Мещёрском крае заповедными стали истоки рек, и родники, и рощи, и дубравы.

Однородные: истоки рек, и родники, и рощи, и дубравы. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов ... , И ... , И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

Грамматическая основа

Союзы

Однородные члены предложения – 1-я группа

Однородные члены предложения – 2-я группа 

1) Во всём мире любители музыки П.И. Чайковского восхищаются как операми композитора, так и его симфоническими произведениями. — одна запятая (однородные члены «операми», «произведениями» связаны двойным союзом «КАК…, ТАК И…», запятая ставится перед второй частью этого союза)

2) Точный, простой и живописный язык произведений М.М. Пришвина надолго запоминается читателям. — одна запятая (однородные члены «точный», «простой» связаны только интонацией (союзов нет) => разделяются запятой; к этой же группе однородных относится слово «живописный», которое соединено с ними с помощью союза «И» => запятая не ставится)

3) Кое-где при дороге попадается угрюмая ракита или молодая берёзка с мелкими клейкими листьями. — нет запятых (однородные члены «ракита», «берёзка» соединены одиночным союзом «ИЛИ» => запятая не нужна; определения «мелкими», «клейкими» относятся к слову «листьями», однако являются неоднородными, поскольку характеризуют объект с разных сторон => запятая не нужна)

4) В преемственности традиций народных мастеров и верности стилистике древнейшего промысла и содержится секрет успеха и популярности гжельской керамики в наше время. — нет запятых (перед нами две группы однородных членов: дополнения «в преемственности», «в верности»; дополнения «успеха», «популярности»; каждая группа связана с помощью собственного сочинительного союза «И» => запятые не нужны; важно! в предложении есть частица «И», которую можно спутать с союзом => не служит для соединения ни однородных членов, ни грамматических основ => запятая не нужна)

5) Лес тихо отдыхает от жгучего дневного солнца, и степь обдаёт путника накопившимися за день цветочными запахами. — одна запятая (в предложении две грамматические основы – «лес отдыхает», «степь обдаёт», которые соединены сочинительным союзом «И» (сложносочинённое предложение); общего второстепенного члена предложения нет => запятая ставится; определения «жгучего», «дневного» относятся к слову «солнца», однако являются неоднородными, поскольку характеризуют объект с разных сторон => запятая не нужна)

Здесь скоро появится решение

Здесь скоро появится решение

Грамматическая основа

Союзы

Однородные члены предложения – 1-ая группа

Однородные члены предложения – 2-ая группа

1) Пленяющая красота русских пейзажей поразительна и надолго остаётся в памяти. — нет запятых (одна группа однородных: однородные сказуемые «поразительна», «остаётся» соединены одиночным союзом И => запятая не нужна)
2) К числу самых древних изображений на стенах пещер эпохи палеолита относятся и оттиски руки человека, и непонятные узоры с беспорядочными переплетениями волнистых линий. — одна запятая (однородные подлежащие «оттиски», «узоры» связаны повторяющимся союзом «И…, И…» => запятая ставится после первого однородного)
3) Логику познания Декарт выстроил от простейшего и очевидного к сложному и непонятному. — нет запятых (две группы однородных, которые не образуют один ряд: однородные члены «от простейшего», «от очевидного» соединены одиночным союзом И, как и однородные члены «к сложному», «к непонятному» => запятая не нужна)
4) Для художественной речи характерна как образность, так и эмоциональность. — одна запятая (однородные члены «образность», «эмоциональность» связаны двойным союзом «КАК…, ТАК И…» => запятая ставится перед второй частью союза)
5) Поэту видится то алмазный блеск березняка, то бархатный блеск пашен, то янтарный блеск свечей. — две запятые (однородные подлежащие «блеск», «блеск», «блеск» связаны повторяющимся союзом «ТО…, ТО…, ТО…» => запятая ставится после первого однородного и так далее, кроме последнего) 

Здесь скоро появится решение

Здесь скоро появится решение