Тема 17. Задачи по планиметрии

17.07 Трапеция и её свойства

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по планиметрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31017

Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка между точками пересечения этой прямой с продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны a  и b  .

Показать ответ и решение

Пусть боковые стороны AB  и CD  трапеции ABCD  пересекаются в точке O  , через которую проведена параллельная основаниям прямая, пересекающая продолжения диагоналей AC  и BD  в точках N  и M  соответственно. Пусть BC = a  , AD  =b  и b> a  .

PIC

Тогда △BOC  ∼ △AOD  по двум углам (∠OBC = ∠OAD  , ∠OCB = ∠ODA  как соответственные при AD ∥BC  и секущих AO  и DO  соответственно). Пусть коэффициент подобия треугольников AOD  и BOC  равен    b
k= a  . Тогда, если OC = x  , то OD = kx  , следовательно, CD = (k − 1)x  .

Из подобия △ACD ∼ △NCO  по двум углам (∠ACD = ∠NCO  как вертикальные и ∠CAD  =∠CNO  как накрест лежащие при AD ∥ ON  и секущей AN  ) имеем:

(k−x1)x = ObN-  ⇒   ON = kb−-1 = ba−ba

Аналогично из подобия △ABD ∼ △MBO  с коэффициентом подобия k− 1  имеем:

OM  = -b--= --b--= -ab-
      k− 1  ba − 1  b− a

Следовательно, искомая длина равна

                2ab
MN  =OM  +ON = b−-a

P.S. Если a >b  , то получим       2ab
MN  = a− b  , следовательно, объединяя оба случая, получаем ответ       2ab
MN  =|a−-b| .

Ответ:

--2ab-
|a− b|

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!