Теория чисел на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четырёхзначное число не кратно 10. Сумма числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна . Оказалось, что число делится на 100. Найдите .
Так как не делится на 10, то последняя цифры — не Пусть где — цифры.
Из условия следует уравнение
Первое решение.
Так как оканчивается на 0, а сами эти цифры нулю равняться не могут, то Тогда оканчивается на 10, поэтому Получаем
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Запишем слагаемые левой части по определению десятичной записи
Приводим подобные слагаемые
Так как делится на то на тоже делится. Тогда и
Заметим, что тогда и, так как и — взаимно простые, то делится на 10. Но и — цифры, и их сумма не больше , и при этом больше так как по условию Единственное кратное число в этом промежутке — поэтому
Пусть Вернемся к нашему равенству, и подставим в него и
Сокращаем на 10
Справа число, делящееся на Так как то Так как то
Так как, и — цифры, то их сумма хотя бы и не больше а единственное число с остатком при делении на в этом промежутке — это Тогда
Теперь найдем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!