14.08 Тела вращения. Доказательство базовых фактов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Мало кто знает, но в своё время Дед Мороз тоже закончил мехмат МГУ — Мурманского Государственного Университета! В ту эпоху ЕГЭ ещё не было и для поступления Дед Мороз сдавал внутренние вступительные экзамены.
Дан куб в который вписан шар с центром в точке На диагонали отмечена точка M так, что Точка — середина диагонали
а) Докажите, что центр шара принадлежит плоскости
б) Из точек и опустили перпендикуляры и на плоскость Найдите объём пирамиды если ребро куба равно 8.
Попробуйте решить оба пункта, и кто знает, возможно, и вы однажды станете студентом МГУ!!!
а)
1. Шар вписан в куб, центром этих фигур является одна и та же точка, поэтому работать будем именно с центром куба. Центр куба — точка пересечения его диагоналей.
2. Пусть — середина диагонали Теперь следует доказать, что точка принадлежит плоскости
3. Диагональ лежит в плоскости В этой же плоскости лежат и три точки плоскости то есть точка лежит в той же плоскости, что и все точки Ч.Т.Д.
б)
1. Проведём перпендикуляр к прямой
2. следовательно, перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости то есть
3. и означают, что То есть — высота пирамиды. Найдем её длину через метод площадей для
4. Проведём перпендикуляр к Его длина равна длине стороны так как — прямоугольник.
5. Из подобия , получаем
откуда поскольку — куб, у него все рёбра равны.
6. Аналогично находим, что откуда и — середины сторон и соответственно.
7. По теореме Пифагора для
8. По методу площадей для вычислим высоту
9. Основание пирамиды — четырёхугольник Прямые и перпендикулярны плоскости значит они параллельны и на самом деле — трапеция.
10. Из тезисов и выводим, что То есть — высота трапеции.
11. Найдём площадь основания пирамиды:
12. Найдём объём пирамиды:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!