Тема 14. Задачи по стереометрии

14.12 Нахождение площади сечения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#19806

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEF  A1B1C1D1E1F1.  Плоскость α  проходит через точки B,  C1  и D1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α  является трапецией.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = BB1 = 10.

Показать ответ и решение

а) Обозначим через α  плоскость сечения. Плоскости (B1C1D1 )  и (BCD )  параллельны, следовательно, плоскость α  сечет их по параллельным прямым. Плоскость α  пересекает B1C1D1  по прямой D1C1.  Докажем, что прямая EB  параллельна D1C1,  из этого будет следовать, что она лежит в α,  так как B ∈ α  .

Прямые EB ∥ DC  в силу правильности шестиугольника ABCDEF,  так как в нем          ∘
∠BED  = 60,             ∘
∠EDC  = 120 ,  следовательно, сумма односторонних углов равна 180∘.  Прямые DC  ∥D C ,
      1 1  следовательно, EB ∥ D C .
      1 1  Тогда E  лежит в α  и ED1C1B  — искомое сечение. Кроме того, в четырехугольнике ED1C1B  противолежащие стороны EB  и D1C1  параллельны и не равны, следовательно, ED1C1B  — трапеция.

PIC

б) Способ 1.

В правильном шестиугольнике EB = 2DC = 2AB = 20,  также по условию D1C1 = AB = 10.  По теореме Пифагора для треугольника BCC1  :

BC  = ∘BC2-+-CC2-= √100-+100-=10√2-= ED
   1            1                       1

Найдем полупериметр трапеции:

       √ -                √-
p=  2⋅10-2+-10+-20= 15+ 10 2
          2

Равнобокую трапецию можно вписать в окружность, тогда по формуле Брахмагупты ее площадь равна

S = ∘ (p−-ED1)(p−-D1C1)(p-− BC1-)(p-− EB-)=

  ∘ -2-------√---------√---   √-
=   15 ⋅(5+ 10 2)(−5+ 10 2)= 75 7

Способ 2.

Введём векторный базис из векторов −A→F  =−→a,  −B−→C  = −→b ,  −−C→C1 = −→c.  Длины этих векторов a =b = c= 10.  Из определения правильной призмы −→a ⊥ −→c  и −→   −→
b ⊥ c ,  а поскольку шестиугольник ABCDEF  — правильный, то прямые AF  и BC  образуют угол   ∘
60.  Тогда можно посчитать скалярное произведение:

(−→a,−→b )= a⋅b⋅cos60∘ = 10⋅10⋅0,5 = 50
      −→  −→            ∘
      (a, c)= a⋅c⋅cos90 = 0
      (−→b ,−→c)= b⋅c⋅cos90∘ = 0

PIC

В пункте а) было ранее доказано, что EBC1D1  — трапеция. По свойствам правильного шестиугольника диагональ BE  = 2a.  Тогда для определения площади сечения можно сначала посчитать площадь треугольника EBC1,  после чего домножить её на 1,5,  поскольку площадь EC1D1  составляет половину от площади EBC1.  Выразим векторы BE  и BC1  через базисные вектора и найдём квадраты длин:

                       −−→    −→
                       BE  =2AF  =2−→a
                   −−→   −−→   −−→    −→   −→
                   BC1 = BC + CC1 = b + c
                    BE2 = (2a)2 = 4a2 = 202
   2   −→   −→ 2   −→  −→ 2   −→ −→  2   −→  −→    2   2    2      2
BC 1 = ( b + c ) = (b ,b )+ (c ,c) − 2(b ,c )= b +c = 2a = 2 ⋅10

Таким образом,

          1                   1       ∘-------------
  SEBC1 = 2BE ⋅BC1 sin ∠EBC1 = 2BEBC1   1 − cos2∠EBC1 =
   ∘ ---------------------------   ∘-------------------
= 1  BE2BC21 − BE2BC21 cos2∠EBC1 = 1 BE2BC21 − (−B−→E, −B−C→1)2 =
  2   ∘ -----------------   ∘ ---2------------------
   = 1  8a4− (2−→a,−→b + −→c )2 = 1 8a4 − 4(−→a ,−→b )2− 4(−→a,−→c)2 =
     2    ∘ ---------------2--
       = 1  2⋅2002− 4⋅502− 2⋅0= 1 ⋅100√8-−-1= 50√7
         2                      2

Тогда площадь трапеции равна

                      √-
SEBC1D1 = 1,5SEBC1 = 75 7
Ответ:

б)   √ -
75  7

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)

2

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

1

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!