13.08 Показательные: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Так как то уравнение можно переписать в виде:
Так как то заменой
данное уравнение сводится к
квадратному:
Корнями этого уравнения будут и
Сделаем обратную замену
для
Сделаем обратную замену для
б) Отберем корни. Так как то
следовательно,
не входит в промежуток.
Заметим, что так как
и основание логарифма
Следовательно, осталось сравнить и
Очевидно, что, если
то
Воспользуемся этим свойством:
Так как то
следовательно, между данными
числами должен стоять знак
Таким образом, число больше левого конца промежутка и меньше
правого, следовательно, лежит в данном промежутке.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Так как ,
, то при помощи замены
,
, уравнение
сведется к виду:
Оба корня положительные, следовательно, подходят под условие . Сделаем обратную
замену:
б) Отберем корни. Если , то
.
Так как , то
,
. Следовательно, только
входит в отрезок
.
Значит, только корень
входит в отрезок
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Перепишем левую часть уравнения в виде:
Тогда уравнение после замены примет вид квадратного уравнения:
Найдем дискриминант:
Следовательно,
Так как показательная функция всегда положительна, то
значит, оба корня нам
подходят:
б) Отберем корни. Видно, что не входит в промежуток. Предположим, что
входит в промежуток
Полученное неравенство верно, следовательно,
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Запишем слагаемые левой части исходного уравнения в виде
Тогда после замены уравнение примет вид:
Данное уравнение является биквадратным и решается как квадратное относительно
Найдем дискриминант:
Найдем корни:
Тогда с учетом получаем решения:
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни. Так как — возрастающая функция, то чем больше
тем больше
Тогда имеем:
Значит, лежит в отрезке
Далее представим в виде логарифма:
Сравним с числом 16:
Таким образом, имеем
Тогда корень не входит в отрезок
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
a)
Пусть , тогда, сделав замену, получим
Сделаем обратую замену:
б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку . Сравним
и
:
Получаем , следовательно этот корень вне промежутка. Далее сравним
и
:
Далее, если , то это число будет в промежутке.
Тогда пишем в ответ.
a)
б) .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Преобразуем уравнение:
Разделим обе части равенства на положительное выражение
Получим:
Пусть
Так как то подходит
Сделаем обратную замену:
б) На отрезке лежит только
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену
Тогда уравнение примет вид
С учетом ограничения на сделаем обратную замену:
б) Сравним полученный логарифм с левым концом указанного отрезка:
Таким образом, но также
следовательно,
лежит в указанном отрезке. При этом
не лежит в этом
отрезке.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену:
С учетом ограничения на сделаем обратную замену:
б) Запишем цепочку неравенств:
Отсюда следует, что лишь корень лежит в указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Уравнение равносильно
Сделаем замену тогда уравнение примет вид
Найдем дискриминант:
Следовательно, корни равны
Сделаем обратную замену:
б) Сравним корень с левым концом указанного отрезка:
Тогда не принадлежит отрезку
Сравним корень с концами указанного отрезка:
Тогда принадлежит указанному отрезку.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену ,
, тогда уравнение примет
вид
Тогда
б) Поскольку то первый корень принадлежит отрезку
Сравним второй корень с правым концом этого отрезка:
Тогда с учетом получаем, что второй корень также лежит
в указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену ,
:
б) Корень лежит на указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену ,
:
б) Корень лежит на указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену ,
:
б) Корень не лежит на указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену
Оценим одно из решений совокупности:
Тогда это значение не удовлетворяет неравенству системы.
Из остальных решений совокупности условию удовлетворяет лишь
Отсюда
б) Так как то корень
лежит в указанном отрезке.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Сделаем замену
Оценим выражения с корнями:
-
Сравним
и
Значит,
-
Сравним
и
Значит,
-
Сравним
и
Значит,
- Сравним
и 6. Очевидно, что
значит,
-
Сравним
и
Значит,
Таким образом,
Тогда и
не удовлетворяют неравенству системы, а
и
удовлетворяют.
Отсюда и
б) Так как то корень
не лежит в отрезке
По пункту а) имеем Сравним
и
Значит, Тогда
Тогда корень лежит в указанном отрезке.
Замечание.
Отобрать подходящие решения совокупности в пункте а) можно непосредственной подстановкой в квадратное неравенство системы.
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Комментарий.
Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Найдем ОДЗ уравнения: Сделаем замену
Тогда,
так как
, то уравнение примет вид
Тогда с учетом ОДЗ
б) Так как , то корень
лежит на указанном
промежутке.
а)
б)