1) (друзья) потревожАтся (глагол будущего времени; инфинитив – «потревожиться», II спряжение => пишется окончание АТ), подержАнный (автомобиль) (слово прошедшего времени; образовано от глагола «подержать»; перед суффиксом -НН- пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед ТЬ => А)

2) воображаЕмый (слово настоящего времени; образовано от глагола «воображать», I спряжение => пишется суффикс -ЕМ-), (он) пропишЕт (в квартире) (глагол будущего времени; инфинитив – «прописать», I спряжение => пишется окончание ЕТ)

3) (они) щекочУт (друг друга) (глагол настоящего времени; инфинитив – «щекотать», I спряжение => пишется окончание УТ), ропщУщий (на судьбу) (причастие настоящего времени; образовано от глагола «роптать» (запомнить!), I спряжение => пишется суффикс -УЩ-)

4) подметИвший (недостатки) (причастие прошедшего времени; образовано от глагола «подметить»; перед суффиксом -ВШ- пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед ТЬ => И), подброшЕнный (мяч) (причастие прошедшего времени; перед суффиксом -НН- пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед ТЬ; НО! если глагол оканчивается на ИТЬ, буква И меняется на Е (так как суффикса ИНН не существует):  подбросить => Е)

5) (дети) выспЯтся (глагол будущего времени; отбрасываем приставку ВЫ- и постфикс СЯ: ВЫсп..тСЯ – спЯт; вставляем букву, которая находится под ударением – Я), потерЯнные (вещи) (причастие прошедшего времени; образовано от глагола «потерять»; перед суффиксом НН пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед ТЬ => Я)