.04 Сферическое зеркало
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Цилиндрический сосуд с жидкостью вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной
оси , совпадающей с осью симметрии сосуда (см. рис.). Наблюдатель, находясь вблизи экватора
Земли, рассматривает в полдень изображение Солнца с помощью миниатюрной камеры ,
расположенной на оси вращения.
1) Найти радиус кривизны свободной поверхности жидкости в её нижней точке .
2) На каком расстоянии от точки будет наблюдаться изображение Солнца, полученное в
отраженных от свободной поверхности жидкости лучах? Принять м/ .
(«Физтех», 2022, 11)
Способ №1 от АВ
1) Выведем уравнение свободной поверхности, для сосуда который вращается. Покажем на
рисунке силы, действующие на малый элемент жидкости: сила тяжести, сила инерции и сила
Архимеда.
Соответственно, результирующая сил тяжести и инерции должна лежать на той же прямой, что и сила Архимеда, то есть они будут перпендикулярны касательной к нашей поверхности жидкости. Тангенс угла наклона касательной:
Интегрируя, получим ():
2) Найдём радиус кривизны с помощью кинематики. Мы знаем, что зависимость при движении в поле тяжести Земли является параболой. То есть для горизонтального броска получим следующее:
Ускорение свободного падения является, с другой стороны, нормальным ускорением, так как оно перпендикулярно скорости.
- это радиус кривизны в верхней точке траектории. В итоге получим:
3) Сопоставим эти две зависимости, и тогда получим, что:
4) У параболы есть фокус, в который будут попадать все лучи, идущие параллельно оси . Изображение Солнца как раз и будет находиться в фокусе. С другой стороны, рассмотрим нижнюю часть параболы, как сферическое зеркало, которое также будет собирать все лучи, идущие параллельно оси , в своём фокусе. Фокус сферического зеркала равен половине радиуса кривизны, то есть:
Способ №2 от АВ
Докажем, что все линии, идущие параллельно оси , пересекутся. Пусть парабола будет вида .
Обозначим пересечение продолжения луча с осью за . Построим касательную к точке пересечения
луча и параболы, а также перпендикуляр к ней. Угол падения луча равен углу отражения от параболы,
то есть . Также .
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке .
Угол между направлением отражённого луча и горизонталью равен:
Получаем:
это и есть местоположение нашего фокуса. Из первого пункта первого способа мы нашли, что уравнение поверхности воды это:
Тогда отсюда получим, что:
Официальное решение Физтеха
1) Малый «кусочек» жидкости массой на поверхности жидкости имеет ускорение . Из
второго закона Ньютона . Имеем . Так как угол мал, то .
Итак, . Отсюда радиус кривизны см.
2) Изображение в т. С на расстоянии см от т. О. Это можно показать, рассматривая
поверхность жидкости вблизи т. О как сферическое зеркало. Можно сразу сказать, что изображение в
фокусе зеркала или рассмотреть ход падающего и отраженного лучей при малом .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!