Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

Так как косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

Так как косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

Следовательно, можно принять Тогда по теореме Пифагора для

Следовательно,

Обозначим вершины, как показано на рисунке, и проведем среднюю линию трапеции:

По свойству средней линии Тогда по теореме Фалеса и — середины диагоналей трапеции. Следовательно, — искомый отрезок.

Заметим, что — средняя линия Следовательно, Также — средняя линия значит, Тогда

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

Проведем Так как диагонали трапеции перпендикулярны, то Также, так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны, следовательно, можно принять (по построению — параллелограмм, следовательно, ). Следовательно, равнобедренный.

Заметим, что численно равна высоте проведенной к которая также является и медианой. Обозначим ее за В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно,

Так как — параллелограмм, то Следовательно, Отсюда

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

По свойству равнобедренной трапеции Следовательно, — прямоугольный и равнобедренный, значит, Рассмотрим Он прямоугольный, один из его острых углов равен следовательно, второй тоже, значит, — раввнобедренный. Отсюда следует, что

По свойству равнобедренной трапеции Тогда Следовательно,

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. Площад выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна полупроизведению диагоналей. Следовательно, площадь ромба равна

Здесь за обозначена вторая диагональ, которую и нужно найти.

Обозначим вершины, как показано на рисунке:

По свойству равнобедренной трапеции Так как тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то

Так как — биссектриса, то Тогда Так как — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы, следовательно, — равнобедренный, значит, Заметим, что следовательно, следовательно, и есть меньший угол в

По свойству вписанного угла имеем:

По свойству вписанного угла имеем:

По свойству вписанного угла имеем:

По свойству описанного четырехугольника имеем:

Тогда периметр четырехугольника равен

По свойству центрального угла имеем:

Так как угол смежный углу то получаем

Пусть — высота параллелограмма из точки на сторону Тогда

С другой стороны,

Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны, то имеем:

Тогда периметр четырехугольника равен

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают Следовательно, пусть — некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, значит,

Тогда больший угол параллелограмма равен

Найдем угол

Так как — параллелограмм, то

То есть меньший угол параллелограмма равен

Пусть биссектрисса пересекает сторону в точке По условию Так как — параллелограмм, то прямые и параллельны, а значит,

Так как — биссектриса, то искомый угол равен

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть

Тогда имеем:

Так как — ромб, то есть треугольник — равнобедренный. а значит

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

Так как один из углов ромба равен то смежный ему угол равен

Далее, треугольник — прямоугольный, угол Тогда катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Таким образом,