14.02 Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ

а) Обозначим плоскость через По условию плоскости и параллельны, следовательно, они пересекают плоскость по параллельным прямым. Плоскость пересекает плоскость по прямой плоскость пересекает плоскость по прямой Тогда получаем, что По аналогичным соображениям

Далее, причем — середина следовательно, — средняя линия в треугольнике и точка — середина Аналогично получаем, что точка — середина Тогда — средняя линия треугольника параллельная стороне Следовательно,

Обозначим через длину высоты треугольника проведенной из вершины Так как — средняя линия, то она делит эту высоту пополам. Следовательно, высота трапеции равна Теперь можем найти отношение площади к площади

б) Расписав объем пирамиды через объемы ее составных частей, получим

Найдем все эти объемы, чтобы затем найти объем пирамиды

Площадь правильного треугольника со стороной равна

Высота пирамиды равна 10, тогда ее объем равен

Далее, найдем следующие отрезки как средние линии соответствующих треугольников:

Следовательно, треугольник подобен треугольнику по трем сторонам с коэффициентом Тогда получаем

Пусть — точка пересечения с плоскостью Далее, следовательно, — высота пирамиды Так как и — прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями и то они параллельны. Тогда в треугольнике отрезок проходит через середину и параллелен Значит, — средняя линия и

Тогда можем найти объем пирамиды

Высота из вершины пирамиды равна так как а и есть расстояние между этими плоскостями. Тогда можем найти объем пирамиды

Осталось вычислить объем