Тема 15. Решение неравенств
15.02 Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15710

Решите неравенство

    log2(7−x)   1+log2x   log2(7x−x2)
30⋅3       + 3     − 3        ≥ 90
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ данного неравенства:

(| 7− x >0          (| 7> x
{                  {
|( x >0 2       ⇔   |( x> 0          ⇔   x∈ (0;7)
  7x− x > 0          (7− x)x > 0

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифмов и степеней:

    log2(7−x)    log2x   log2(7−x)  log2x
30⋅3       +3 ⋅3   − 3(      ⋅3  ) ≥ 90
 30⋅3log2(7−x)− 90+ 3log2x 3− 3log2(7−x) ≥ 0
   (          )       (          )
 30 3log2(7− x)− 3 − 3log2x 3log2(7−x)− 3 ≥ 0
      (     log2x) ( log2(7−x)   )
      (30− 3   ) (3       − 3) ≥ 0
       3log2x− 30  3log2(7−x) − 3 ≤ 0
    (            ) (          )
     3log2x− 3log330   3log2(7−x)− 3 ≤ 0

По методу рационализации имеем:

(3− 1)(log2 x− log330)(3 − 1)(log2(7− x)− 1)≤ 0
  (           log330)
   log2x − log22    (log2(7− x)− log22)≤ 0

По методу рационализации имеем:

      (    log330)
(2− 1) x−( 2      (2) − 1)(7− x− 2)≤ 0
         x− 2log330 (x− 5)≥ 0

Оценим 2log330 :

       3   log327   log330
7< 8= 2 = 2     < 2

Методом интервалов с учётом ОДЗ получим

PICT

Таким образом, окончательно получаем

x∈ (0;5]
Ответ:

(0;5]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!