Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите, при каких неотрицательных значениях параметра функция
на отрезке имеет ровно одну точку минимума.
По условию Функция
определена при всех
Найдем
производную функции
Нули производной:
В зависимости от того, равен или не равен параметр нулю, второе уравнение
совокупности является линейным или квадратичным. Поэтому рассмотрим эти два
случая.
- 1)
Тогда совокупность примет вид
Производная имеет вид
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:
Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке
Значит, этот случай нам подходит и
— первая часть ответа.
- 2)
Тогда второе уравнение совокупности квадратное. Его дискриминант равен
Следовательно, нужно по отдельности рассмотреть случаи, когда дискриминант меньше нуля, равен нулю или больше нуля.
- 2.1)
Тогда производная имеет один нуль — это
а выражение
при всех
Следовательно, знаки производной такие:
Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке
Значит, этот случай нам подходит и
— вторая часть ответа.
- 2.2)
Тогда нуль второго уравнения совокупности — это
Следовательно, производная имеет вид
Знаки производной такие:
Следовательно, функция имеет ровно одну точку минимума — это
которая лежит на отрезке
Значит, этот случай нам подходит и
— третья часть ответа.
- 2.3)
но также
Тогда второе уравнение совокупности имеет два нуля:
Заметим, что по теореме Виета из произведение
сумма
следовательно,
Тогда производная имеет вид
и знаки производной такие:
Следовательно, функция
имеет две точки минимума — это
и
Так как
то
Следовательно, необходимо, чтобы
Рассмотрим параболу
Она имеет направленные вверх ветви и две точки пересечения с осью абсцисс. Чтобы больший корень уравнения
был больше 1, достаточно, чтобы хотя бы один корень был больше 1. Это задается следующими условиями (сразу укажем в них, что
):
Следовательно,
— четвертая часть ответа.
Объединяя все подходящие значения параметра, получаем итоговый ответ:
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!