Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки
— середины сторон соответственно
и
остроугольного треугольника
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников
и
пересекаются в одной точке.
б) Известно, что и
Найдите радиус окружности,
вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных
около треугольников
и
Источники:
а) Пусть — вторая точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников
и
Четырехугольник вписан в окружность, поэтому
Аналогично четырехугольник вписан в окружность, следовательно,
Следовательно,
Следовательно, четырехугольник также вписан в окружность, то
есть точка
лежит на окружности, описанной около треугольника
Чтд.
б) Докажем, что
и
— диаметры трех окружностей.
Пусть
— центр окружности, описанной около
Докажем, что
Так как — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
то
Отсюда
— вписанный,
следовательно,
лежит на окружности, описанной около
Аналогично доказывается, что
лежит на двух других окружностях,
следовательно,
— точка пересечения всех трех окружностей, то есть это и есть
точка
Из того, что
следует, что
и
— диаметры трех окружностей.
Следовательно, если
и
— центры этих окружностей, то эти точки —
середины отрезков
и
соответственно, значит,
и
— средние линии в
и
соответственно.
Следовательно, стороны
равны половинам сторон
значит, эти
треугольники подобны с коэффициентом подобия
Тогда радиус окружности,
впписанной в
в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в
По формуле
радиус окружности, вписанной в
равен
б)
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/dnr-lnr.png)
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!