Комбинаторика на ИТМО: способы, графы, логика, клетки, комбигео
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клетчатый куб 
состоит из ячеек, представляющих из себя единичные кубики. 361 ячейка закрашена. Докажите, что в каком-то
кубике 
закрашено хотя бы четыре ячейки.
Источники:
Подсказка 1
Дан куб со стороной 9, а надо понять что-то про кубики со стороной 2. Конечно, неудобно, что большой куб ровно не разбиваются на маленькие. Но мы можем попробовать разбить на кубики 2*2*2 хотя-бы ту часть куба, которую возможно, и применить для нее предположение, противоположное вопросу задачи.
Подсказка 2
Но у нас остается еще часть большого куба, не разбитая на кубы 2*2*2. Эту часть тоже можно как-то разбить хорошо (удобно, что 4 ячейки укладываются в квадратик 2*2) и понять, какое максимальное кол-во закрашенных ячеек может быть, если в каждом кубике 2*2*2 их не более 3!
Вырежем из нашего куба куб 
и разобьём его на 64 куба 
.
Предположим, что в каждом кубике закрашено не более трёх ячеек, то есть всего не более 192.
В исходном кубе после этого остались кубики на трёх гранях, имеющих общую вершину. Рассмотрим 64 клетки на одной из этих граней,
которые не лежат ни на какой из двух других. Они разбиваются на 16 квадратов 
, в каждом из которых не более трёх закрашенных
ячеек. Итого на трёх гранях получаем не более 
.
У нас остались не рассмотренными 25 ячеек, образующих три ребра исходного куба, сходящиеся в одной вершине. Среди них закрашены
не более 24, так как общая ячейка трёх этих рёбер и три её соседних лежат в одном кубике 
, значит, среди этих четырёх ячеек не
более трёх закрашенных.
Таким образом, мы получаем максимум 
закрашенных ячеек, что противоречит условию задачи. Значит, наше
предположение было неверно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
