Иррациональные уравнения (со знаком корня) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#102

Найдите корень уравнения $√6−-x-= 3.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $6− x≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 6.$

При возведении в квадрат левой и правой частей уравнения в общем случае могут возникать лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую части, найдём корни получившегося уравнения:

6 − x = 9 ⇔ x= − 3

Проверим подстановкой, являются ли найденные корни корнями корнями исходного уравнения:

∘ ------- 6− (−3)= 3

Получили верное равенство, таким образом, $x = −3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1443

Найдите корень уравнения

√------ x + 12 = 6

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ − 12.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $x+ 12 = 36,$ что равносильно $x = 24.$

Подставим в исходное уравнение: $√ ------- 24+ 12 = 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 24.$

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1444

Найдите корень уравнения $√4x+-5 =6.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $4x+ 5 ≥0,$ что равносильно $x≥ −1,25.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $4x+ 5 =36,$ что равносильно $x = 7,75.$

Подставим в исходное уравнение: $√--------- 4 ⋅7,75+ 5= 6$ – верное равенство, таким образом, ответ $x =7,75.$

Ответ: 7,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2548

Найдите корень уравнения $√2x+-31= 9.$

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $2x+ 31≥ 0.$ Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в:

2x +31 =81 ⇒ x = 25

Данный корень подходит под ОДЗ.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2685

Найдите корень уравнения

√ ------- 2 − x + 22 = (− 2)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x+ 22 ≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 22.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение можно переписать в виде

√ ------- − x +22 = 4

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: $− x+ 22 = 16,$ что равносильно $x = 6.$

Подставим в исходное уравнение: $√ − 6-+-22 = (− 2)2$ – верное равенство, таким образом, ответ $x = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#15797

Решите уравнение $√------ 2x+ 37= 7.$

Показать ответ и решение

Возведем обе части в квадрат:

√ ------ ( 2x+ 37= 7 {2x +37 =49 ( 7 ≥ 0 2x = 12 x = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#103

Найдите корень уравнения

∘ 2x-−-9 2 ------= - 5 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x− 9 --5---≥ 0,$ что равносильно $x ≥ 4,5.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2x-−-9= 4- ⇔ 2x − 9 = 4 ⇔ x = 4,9 5 25 5

Подставим в исходное уравнение:

∘--------- 2⋅4,9− 9 2 ---5-----= 5

– верное равенство, таким образом, ответ $x = 4,9.$

Ответ: 4,9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104

Найдите корень уравнения

∘ 13-−-2x- 4 -------= -- 10 25

Показать ответ и решение

ОДЗ: $13− 2x --10---≥ 0,$ что равносильно $x ≤ 6,5.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

13−-2x-= 16- ⇔ 13 − 2x = 256- ⇔ x = 6,372 10 625 1000

Подставим в исходное уравнение:

∘ ------------ 13− 2⋅6,372 4 ----10------= 25

– верное равенство, таким образом, ответ $x = 6,372.$

Ответ: 6,372

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#105

Найдите корень уравнения

∘ x-+-23 5 ------ = √-- 6 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x+23 6 ≥ 0,$ что равносильно $x ≥ − 23.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

x+ 23 25 --6---= 3- ⇔ x+ 23 = 50 ⇔ x = 27

Подставим в исходное уравнение:

∘ ------- 27+-23-= √5- 6 3

– верное равенство, таким образом, ответ $x = 27.$

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#106

Найдите корень уравнения

3√------ 2 + 4x = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $3 2 + 4x = 3 ,$ что равносильно $x = 6,25$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#107

Найдите корень уравнения

10√1-------- 13+ 12x = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $101 13 + 12x = 1 ,$ что равносильно $x = − 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1268

Найдите корень уравнения $√----- 3x − 4 = 3.$

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $x ∈ℝ.$

Уравнение равносильно $x− 4= 33,$ следовательно, $x= 31.$

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1445

Найдите корень уравнения

∘ --5-- -----= 2 x+ 7

Показать ответ и решение

ОДЗ: $-5- x+7 ≥ 0,$ что равносильно $x > − 7.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

5 x+-7-= 4,

что на ОДЗ равносильно

5 = 4(x + 7) ⇔ x = − 5,75

Подставим в исходное уравнение:

∘ --------- ----5----= 2 − 5,75+ 7

– верное равенство, таким образом, ответ $x = − 5,75.$

Ответ: -5,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1446

Найдите корень уравнения $∘------ --1--= 1 . 3x+ 4 5$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $3x1+4 ≥ 0,$ что равносильно $x > − 43.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

--1-- = 1-, 3x+ 4 25

что на ОДЗ равносильно

3x+ 4= 25 ⇔ x = 7

Подставим в исходное уравнение:

∘ ---1--- 1 3⋅7-+4-= 5

– верное равенство. Итого: $x =7.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1447

Найдите корень уравнения

∘ ---2---- ------- = 10 − 5x+ 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $--2-- −5x+3 ≥ 0,$ что равносильно $x < 0,6.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2 − 5x+-3-= 100,

что на ОДЗ равносильно

2 = 100(− 5x+ 3) ⇔ x = 0,596

Подставим в исходное уравнение:

∘ ------------- -----2------= 10 − 5 ⋅0,596 + 3

– верное равенство, таким образом, ответ $x = 0,596.$

Ответ: 0,596

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1448

Найдите корень уравнения

┌│ --11---- √- │∘ ----1--= 3 22− - x 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $-11-- 22− 13x ≥ 0,$ что равносильно $x < 66.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

11 ----1--= 3, 22 − -x 3

что на ОДЗ равносильно

( ) 11 = 3 22 − 1x ⇔ x = 55 3

Подставим в исходное уравнение:

┌│ ---------- √- │∘ ---11---- = 3 22− 1 ⋅55 3

– верное равенство, таким образом, ответ $x = 55.$

Ответ: 55

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1449

Найдите корень уравнения $3√x-− 8-= 2.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на задачу ОДЗ.

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $x − 8= 23.$ Отсюда получаем $x= 16$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1450

Найдите корень уравнения $3√−-x−-1= 4.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим уравнение на ОДЗ.

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $− x− 1= 43,$ что равносильно $x= − 65$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1451

Найдите корень уравнения

201√6------- 7x+ 22 = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $7x + 22 ≥ 0.$ Решим на ОДЗ:

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $2016 7x + 22 = 1 ,$ что равносильно $x = − 3$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1452

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

√-------- 13x − 40 = x

Показать ответ и решение

ОДЗ: $13x − 40 ≥ 0.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2 2 13x − 40 = x ⇔ x − 13x+ 40 = 0

Дискриминант $D = 169− 160 = 9 = 32.$ Корни

x = 13-+3-= 8, x = 13-−-3= 5 1 2 2 2

Подставив их в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются корнями исходного уравнения. Наименьший корень равен 5.

Ответ: 5