Малфой, посмотрев по сторонам и убЕдившись в отсутствиИ «противных Гриффиндорцев», начал медлЕнно пробИраться к хижИне, перепрыгИвая мелкие заграждения, затем залез внутрь и, нЕсмотря на прЕбольшую опасность, прЕследующую его повсюду, вспорол плоскогубцами обшивку стула.

РЕШЕНИЕ:

1) убЕдившись – деепричастие; пропущена безударная непроверяемая гласная корня; является словарным словом, написание следует запомнить. 

2) (в) отсутствиИ – существительное; относится ко 2 склонению (средний род, в именительном падеже оканчивается на -ИЕ («отсутствие»)); стоит в предложном падеже => нормативным окончанием является И (в отличие от других существительных среднего рода этого склонения, которые оканчиваются на -О/-Е; для них нормативное окончание – Е); запомнить. 

3) медлЕнно – наречие; образовано от прилагательного «медленный», которое, в свою очередь, было образовано от устаревшего древнерусского слова с помощью суффикса -ЕНН- (пишется буква «Е», так как суффикса ИНН нет).

4) пробИраться – глагол; правописание безударной чередующейся гласной в корнях -БЕР-/-БИР- зависит от суффикса -А-: если он есть после корня, то пишется И (как в данном случае), если суффикса нет – Е.

5) хижИне – существительное; пропущена безударная непроверяемая гласная корня; является словарным словом, написание следует запомнить. 

6) перепрыгИвая – деепричастие; корень – «прыг»; образовано от глагола «перепрыгивать»; пишется суффикс -ИВА-, так как в 1 лице ед.ч. (местоимение «я») он не выпадает, слышится «долгое окончание»: я перепрыгИВАЮ => в деепричастии суффикс сохраняется. 

7) нЕсмотря (на) – производный предлог; пишется приставка НЕ-, так как НИ- пишется только в отрицательных местоимениях и наречиях (никто/нигде и т.д.); запомнить. 

8) прЕбольшую – прилагательное; корень – «больш»; пишется приставка ПРЕ- в значении «очень» (очень большой). 

9) прЕследующую – причастие в полной форме; корень – «след»; пишется приставка ПРЕ-, запомнить можно с помощью ассоциации: «идущая слЕд в слЕд»).