1) (ИЗ)ДАЛИ (в данном случае ИЗДАЛИ – наречие; пишутся слитно наречия с пространственным значением, имеющие в своем составе существительное ДАЛЬ) доносились голоса людей, (ОТ)ЧЕГО (ОТЧЕГО – местоимённое наречие; пишется слитно, можно заменить на наречие «поэтому») мы пошли в ту сторону, полагая, что нужна помощь. 

2) Он решил сменить работу (В)СВЯЗИ (входит в состав производного предлога «В СВЯЗИ С», всегда пишется раздельно; запомнить)  с переездом, ПРИ(ЧЁМ) (в данном случае ПРИЧЁМ – союз, имеет значение «к тому же, вдобавок», пишется слитно) переездом в провинцию, а не в Москву, и это очень меня удивило.

3) Пересветов ТО(ЖЕ) (в данном случае ТОЖЕ – наречие, пишется слитно, имеет значение «таким же образом, в равной степени, аналогично») никак не мог понять логарифмические уравнения, (НЕ)СМОТРЯ (входит в состав производного предлога «НЕСМОТРЯ НА», пишется с НЕ слитно (в отличие от деепричастия «не смотря (по сторонам)»); по смыслу можно заменить на «хотя», «вопреки») на ежедневные занятия с репетитором по математике и приложенные усилия.

4) Мама посмотрела на отца (ИС)ПОДЛОБЬЯ (ИСПОДЛОБЬЯ – наречие, в состав входит слово, которое в современном русском языке не употребляется, пишется слитно), и это был взгляд, полный злобы, но она сдержалась, чтобы (В)СЕРДЦАХ (В СЕРДЦАХ – наречие на -АХ, обозначающее состояние, пишется раздельно) не наговорить ему обидных слов.

5) Только когда Света и Паша зашли (В)ГЛУБЬ (В ГЛУБЬ – существительное с предлогом, есть пояснительное слово: в глубь (чего?) леса; пишутся раздельно) леса, они осознали, что сегодня вернуться домой (ВО)ВРЕМЯ (ВОВРЕМЯ – наречие с временным значением, заменяется на «своевременно»; пишется слитно) не удастся ни при каких обстоятельствах.