1) Мы прогулялись по главным улицам города, а ТАК(ЖЕ) (в данном случае А ТАКЖЕ – союз, пишется слитно, по смыслу можно заменить на союз «И») посетили Исторический музей; ТАМ(ЖЕ) (ТАМ ЖЕ – указательное наречие с частицей, всегда пишутся раздельно) мы присоединились к нашей экскурсионной группе. 

2) Я прочитал несколько статей в Интернете и знал (НА)ПЕРЁД (в данном случае НАПЕРЁД – наречие, пишется слитно; пишутся слитно наречия с временным значением, имеющие в своем составе существительное ПЕРЕД), что произойдет дальше, но СКОЛЬ(БЫ) (СКОЛЬ БЫ – наречие с частицей; всегда пишутся раздельно) друзья ни просили меня не рассказывать им о финале фильма, я удержаться не мог. 

3) (ПО)НАЧАЛУ (ПОНАЧАЛУ – наречие, пишется слитно; пишутся слитно наречия с временным значением, имеющие в своем составе существительное НАЧАЛО) Филипп был уверен, что сможет стать именитым художником, но (В)СКОРЕ (ВСКОРЕ – наречие; образовано при помощи предлога В и слова СКОРЕ, которое в современном русском языке не употребляется => пишется слитно) разочаровался в себе и серьезно решил заняться медициной.

4) После стольких лет разлуки мы смотрели друг на друга совсем (ПО)ДРУГОМУ  (в данном случае ПО-ДРУГОМУ – наречие; наречия с приставкой ПО- и суффиксом -ОМУ- пишутся через дефис), (ПО)ТОМУ (в данном случае ПОТОМУ ЧТО – союз со значением причины, ПОТОМУ пишется слитно в составе этого союза) что наша молодость ушла безвозвратно. 

5) (НЕ)СМОТРЯ (в данном случае НЕСМОТРЯ НА – производный предлог, имеет значение «хотя, вопреки чему-то», нельзя заменить деепричастием «не глядя», пишется слитно, запомнить) на то что Дамир сказал не переживать (НА)СЧЁТ  (в данном случае НАСЧЁТ – производный предлог, имеет значение «относительно чего-либо», синонимичен предлогу «О», пишется слитно) надвигающейся грозы, я боялась ночевать в палатке.