Тема ИТМО (открытка)

Тригонометрия на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела итмо (открытка)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68642

Вася написал на доске три числа: sinx,sin2x  и sin 3x  в каком-то порядке. Все числа оказались различными. Петя пытается определить, какое из чисел где. Какое из трёх утверждений верно:

(1) У Пети всегда получится определить, где sinx,  где sin2x,  а где sin3x.

(2) При некоторых значениях получится, а при некоторых нет.

(3) Никогда не получится.

Источники: ИТМо-2023, 11.3 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Интуитивно можем догадаться, что всё-таки при некотором наборе можно будет однозначно определить, какое число где, а при некотором не получится.

Подсказка 2.

Это верно для x₁ = π/2, x₂ = -π/2. Теперь наша цель найти такой набор, который получится однозначно определить. Возьмем x₀ = π/17. Тогда (sin(x₀), sin(2*x₀), sin(3*x₀)) = (sin(π/17), sin(2*π/17), sin(3*π/17))

Подсказка 3.

Например, при x = 2*π/17 + 2πk: sin(x) = sin(2*x0). Но sin(2*x) = sin(4π/17), что явно больше, чем sin(π/17) и sin(3*π/17). Получается, что при таком x получается другой набор синусов. Попробуйте доказать, что в каждом из остальных случаев также будет получаться другой набор синусов.

Показать ответ и решение

Если x  = π,2x = 2π,3x = 3π-,
 0   17   0  17  0   17  то их синусы различны и положительны.

Пусть найдётся x  для которого эти три синуса получаются такими же, но в другом порядке. Разберём случаи возможных x,  когда sinx  совпадает с одним из написанных на доске чисел:

1) x= π-+ 2πk.
   17  Синусы получаются такие же, как и для x0  в том же порядке.

2) x = 16π-+ 2πk.
    17  В этом случае sinx  и sin3x  получаются такие же, как и для x0  в том же порядке, а sin2x  меняет знак, т.е. получается другой набор чисел.

3)    2π
x= 17 + 2πk.  В этом случае sinx= sin2x0.  Однако          (4π)
sin 2x = sin 17  ,  что не совпадает ни с sinx0,  ни с sin3x0,  так как больше каждого из них.

4)     15π-
x = 17 + 2πk.  В этом случае sinx= sin2x0.  Однако          (30π)
sin2x =sin  17  ,  что не совпадает ни с sinx0,  ни с sin3x0,  так как отрицательно.

5) x= 3π+ 2πk.
   17  В этом случае sinx= sin3x0.  Однако          (  )
sin 2x = sin 6π  ,
          17  что не совпадает ни с sinx0,  ни с sin2x0,  так как больше каждого из них.

6) x = 14π-+ 2πk.
    17  В этом случае sinx= sin3x0.  Однако          (   )
sin2x =sin  28π ,
          17  что не совпадает ни с sinx0,  ни с sin2x0,  так как отрицательно.

Таким образом, единственная возможность получить те же 3 синуса, это случай 1), в котором порядок синусов также совпадает.

Теперь приведём противоположный пример: рассмотрим x1 = π.
    2  Тогда sinx1 = 1,sin2x1 = 0,sin3x1 = −1.  С другой стороны, пусть x = − π.
 2    2  Тогда sinx  =− 1,sin2x = 0,sin3x =1.
   2         2        2  Таким образом, Петя не сможет отличить эти две ситуации друг от друга.

Ответ: второе
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!