Задача №13 —Каталог задач по ЕГЭ - Математика База

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика База
Задача №13

Тема Задача №13

01 Задача №13

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задача №13

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86839

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 5 и 6, а второго — 3 и 4. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади поверхности второго?

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле $Sбок = πrl,$ где $r$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей. Таким образом, площади боковых поверхностей конусов равны

S1 = π⋅5⋅6 =30π, S2 = π⋅3⋅4 =12π.

Следовательно, площадь боковой поверхности первого конуса больше в

30π 5 12π = 2 =2,5 раза.

Ответ: 2,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#84134

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Боковая поверхность этой пирамиды состоит из 6 равнобедренных треугольников с боковой стороной 13 и основанием 10. Проведём в таком треугольнике высоту — она же медиана и биссектриса. Получим 2 прямоугольных треугольника с катетом $10 :2= 5$ и гипотенузой $13.$ Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:

∘ ------- h= 132− 52 = √169−-25= √144 =12.

Откуда площадь равнобедренного треугольника равна

S = 1ah = 110⋅12= 60 2 2

А значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна

6 ⋅60= 360.

Ответ: 360

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82057

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 9 и 5, а объём параллелепипеда равен 540. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что объём параллелепипеда вычисляется по формуле

V = abc,

где $a,b$ и $c$ — длины сторон параллелепипеда. Таким образом,

540 60 540= V = abc =9 ⋅5⋅c ⇔ c= 9⋅5-= 5-= 12.

Площадь поверхности параллелепипеда может быть вычислена по формуле

Sпов = 2⋅(ab +bc+ ac)

Подставим имеющиеся значения, и получим:

Sпов =2 ⋅(9 ⋅5 +5 ⋅12 + 9⋅12) =2 ⋅(45+ 60+ 108)= 2⋅213= 426

Ответ: 426

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80721

Объём конуса равен $12π,$ а радиус его основания равен 3. Найдите высоту этого конуса.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Заметим, что объём конуса вычисляется по формуле:

1 V = 3S⋅h,

где $S$ — площадь круга в основании, а $h$ — длина высоты конуса.

При этом площадь круга равна $2 πR .$ Подставим значения из условия в эти формулы:

1 1 2 1 2 V = 3S⋅h = 3πR ⋅h ⇔ 12π = 3π ⋅3 ⋅h = 3πh ⇔ h =4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80720

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на растояние, равное 9. Найдите площадь этого сечения.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 28

Показать ответ и решение

Этим сечением является прямоугольник, поэтому площадь равняется произведению сторон.

Заметим, что вертикальная сторона совпадает с образующей, поэтому равняется 14. Горизонтальная же сторона является основанием в равнобедренном треугольнике с вершиной в центре основания цилиндра — а значит, в равнобедренном треугольнике с боковой стороной 15 и высотой 9. Высота в таком треугольнике разбивает его на два одинаковых прямоугольных треугольника (так как одновременно является и медианой) с гипотенузой 15 и катетом 9. Второй катет, составляющий половину от горизонтального отрезка, можно найти по теореме Пифагора:

∘ ------- √------- √--- a= 152− 92 = 225− 81= 144= 12.

Таким образом, сечением является прямоугольник со сторонами 14 и $12⋅2 = 24.$ Его площадь равна $14⋅24= 336.$

Ответ: 336

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80719

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA1B1C1$ равна 1, а высота этой призмы равна $√ - 2 3.$ Найдите объём призмы $ABCA1B1C1.$

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 26

Показать ответ и решение

Объём правильной призмы можно найти по формуле

V =S △⋅h,

где $S△$ — площадь треугольника в основании, а $h$ — длина высоты призмы.

Так как в основании лежит правильный треугольник, его площадь можно найти по формуле

a2√3 12⋅√3 √3 S△ = -4---= --4---= -4-

$( a√3) так как высота равна-2-$

Подставим полученное значение в формулу объёма и найдём искомое число:

√- √ - V = S△ ⋅h =-3-⋅2 3= 3 = 1,5. 4 2

Ответ: 1,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80718

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 14, а боковые рёбра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

$PIC$

Показать ответ и решение

Боковая поверхность состоит из 3 одинаковых равнобедренных треугольников с длиной боковой стороны 25 и основанием, равным 14. Проведем высоту в таком треугольнике — получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой 25 и катетом $14 :2= 7$ (так как в равнобедренном треугольнике высота также является медианой).

Второй катет в таком треугольнике можно выразить по теореме Пифагора:

∘------- ∘ --------------- √------ √ ----- a = 252− 72 = (25 − 7)× (25+ 7)= 18× 32= 9× 64= 3⋅8= 24

Значит площадь такого прямоугольного треугольника равна:

S △ = 1 ⋅24⋅7= 84 2

Площадь каждого равнобедренного треугольника в два раза больше, а всего их 3, поэтому искомая площадь вычисляется следующим образом:

84 ⋅2 ⋅3= 504.

Ответ: 504

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80717

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 2 и 5. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Объем цилиндра находится по формуле $V = 1 h⋅πR2. 3$

Чтобы найти во сколько раз объем первого конуса больше объёма второго, необходимо разделить их объемы

1 V1 -3h1⋅πR21 h1⋅R21- 6⋅32 6⋅9- 27 V2 = 1 2 = h2⋅R22 = 5⋅22 = 5⋅4 = 10 = 2,7. 3h2⋅πR2

Ответ: 2,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80716

Даны два шара с радиусами 10 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Объём шара можно найти по формуле

4 3 S = 3πR ,

где $R$ — радиус шара.

Таким образом, отношение объёмов у данных шаров равняется:

4π⋅103 103 34------= 23-= 53 = 125. 3π ⋅23

Ответ: 125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80715

$PIC$

Показать ответ и решение

Вспомним, что объём параллелепипеда равен произведению трёх рёбер: $V = abc.$ Откуда можем найти величину третьего ребра:

a ⋅9⋅5= 540 ⇔ 5a= 60 ⇔ a= 12

Теперь заметим, что площадь поверхности равна удвоенной сумме площадей трёх прямоугольников: $S = 2(ab+ ac+bc).$ Поэтому искомая величина равна:

S = 2 ⋅(12⋅9+ 12⋅5 +9 ⋅5) =2 ⋅(108+ 60+ 45)= 2⋅213= 426

Ответ: 426

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80714

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 и 8. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 80.

$PIC$

Показать ответ и решение

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле $13Sh,$ где $S$ — площадь основания, а $h$ — длина высоты. При этом, мы можем вычислить площадь основания, как площадь прямоугольника: $6⋅8= 48.$ Подставим это значение в формулу, и получим

80 = 1⋅48h ⇔ 80= 16h ⇔ h = 5. 3

Ответ: 5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80713

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго — 5 и 7. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго?

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

S1 = π⋅7⋅9 =63π, S2 = π⋅5⋅7 =35π.

Следовательно, площадь боковой поверхности первого конуса больше в

63π 9 35π = 5 =1,8 раза.

Ответ: 1,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80712

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB, AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 6,AC =18$ и $AD = 8.$

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Площадь пирамиды может быть найдена по формуле

1 V = 3Sh,

где $h$ — высота, в нашем случае $DA,$ равная 8.

А площадь основания, как площадь прямоугольного треугольника, может быть найдена по формуле

S = 1AB ⋅AC = 1 ⋅6 ⋅18 = 54 2 2

Подставим полученные значения в исходную формулу:

1 1 V = 3 Sh= 3 ⋅54⋅8= 18⋅8= 144

Ответ: 144

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80711

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $√- 3 3.$

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Объём пирамиды можно найти по формуле:

1 V = 3Sh,

где $S$ — площадь основания, а $h$ — длина высоты пирамиды.

Так как в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, его площадь равняется квадрату стороны:

S = 62 = 36

Проведём диагональ в квадрате. Её длина по теореме Пифагора равна:

∘------ √ -- √- c = 62+ 62 = 72 = 6 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник с двумя боковыми сторонами пирамиды и диагональю квадрата в основании. Заметим, что высота у такого треугольника совпадает с высотой пирамиды. При этом она делит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой $√- 3 3$ и катетом $√ - √ - 6 2:2= 3 2$ (так как высота в равнобедренном треугольнике также является медианой).

Поэтому высоту пирамиды можно выразить по теореме Пифагора:

∘ --------------- ( √-)2 ( √-)2 √ ------ √- h = 3 3 − 3 2 = 27− 18= 9 = 3.

Подставляем вычисленные значения в формулу объёма и получаем искомый ответ:

V = 1⋅36⋅3 =36. 3

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80710

Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Площадь поверхности шара можно найти по формуле

2 S = 4πR ,

где $R$ — радиус шара.

Таким образом, отношение соответствующих площадей у данных шаров равняется:

4π ⋅62 62 36 4π-⋅22 = 22 = 4-= 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#80709

Объём конуса равен 128. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:3,$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Заметим, что объём конуса вычисляется по формуле:

1 V = 3S⋅h,

где $S$ — площадь круга в основании, а $h$ — длина высоты конуса.

У отсечённого конуса высота в 4 раза меньше, как и радиус круга в основании (в силу подобия). Таким образом, площадь основания меньше в $π⋅(4r)2 -π-⋅r2--= 16$ раз.

А значит, объём отсеченного конуса меньше в

1(16S)⋅(4h) 3----------= 16⋅4= 64 1S⋅h 3

раза, и равняется $128:64= 2.$

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80708

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Боковая поверхность состоит из 6 одинаковых равнобедренных треугольников с длиной боковой стороны 101 и основанием, равным 40. Проведем высоту в таком треугольнике — получим два прямоугольных треугольника с гипотенузой 101 и катетом $40 :2= 20$ (так как в равнобедренном треугольнике высота также является медианой).

Второй катет в таком треугольнике можно выразить по теореме Пифагора:

∘ --------- ∘ ------------------- √ ------- ∘ ------- a= 1012 − 202 = (101 − 20)× (101+ 20) = 81× 121= 92 ×112 = 9⋅11= 99

Значит площадь такого прямоугольного треугольника равна:

S△ = 1⋅99⋅20= 990 2

Площадь каждого равнобедренного треугольника в два раза больше, а всего их 6, поэтому искомая площадь вычисляется следующим образом:

990⋅2⋅6 =11880.

Ответ: 11880

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80707

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $√-- 53.$ Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Объём прямой призмы можно найти по формуле

V =S △⋅h,

где $S△$ — площадь треугольника в основании, а $h$ — длина высоты призмы.

Так как в основании лежит прямоугольный треугольник, его площадь равняется половине произведения катетов. Длину второго катета выразим по теореме Пифагора:

---------- ∘ (√ -)2 2 √ ----- √-- a= 53 − 2 = 53− 4= 49 =7

Подставим полученное значение, чтобы найти площадь треугольника:

S△ = 1 ⋅2⋅7= 7 2

Наконец, используем вычисленную площадь в исходной формуле:

V = S△ ⋅h= 7⋅3 =21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#80250

В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB, AC и AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если $AB = 6,AC =18 и AD =8.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь пирамиды может быть найдена по формуле

1 V = 3Sh,

где $h$ — высота, в нашем случае $DA,$ равная 8.

А площадь основания, как площадь прямоугольного треугольника, может быть найдена по формуле

S = 1AB ⋅AC = 1 ⋅6 ⋅18 = 54 2 2

Подставим полученные значения в исходную формулу:

1 1 V = 3 Sh= 3 ⋅54⋅8= 18⋅8= 144

Ответ: 144

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#78195

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 10, а второго — 5 и 4. Во сколько раз объём второго цилиндра меньше объёма первого?

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 21

Показать ответ и решение

Объем цилиндра находится по формуле $V = h ⋅πR2.$

Чтобы найти во сколько раз объем второго цилиндра меньше объёма первого, необходимо разделить их объемы

V1 h1⋅πR21 10⋅π-⋅42 2⋅4- V2 = h2⋅πR22 = 4⋅π⋅52 = 5 = 1,6

Получилось, что объем второго цилиндра в 1,6 раза меньше объема первого.

Ответ: 1,6

Предыдущий раздел

Следующий раздел