Однажды Солнце и сЕрдитый севЕрный Ветер затеЯли спор о том, кто из них сильнее. Долго спорИли они и, наконец, рЕшились померяться силами над путЕшествЕнником, который в это самое время ехал вЕрхом по большой дорогЕ.

РЕШЕНИЕ:

1) сЕрдитый – прилагательное; пропущена безударная проверяемая гласная корня; проверочное слово – «(он) сЕрдится».

2) севЕрный – прилагательное; пропущена безударная непроверяемая гласная корня; является словарным словом, написание следует запомнить. 

3) затеЯли – глагол прошедшего времени; инфинитив – «затеять» (запомнить!); перед суффиксом -Л- пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед -ТЬ, т.е. «Я». 

4) спорИли – глагол прошедшего времени; инфинитив – «спорить»; перед суффиксом -Л- пишется буква, которая стоит в инфинитиве перед -ТЬ, т.е. «И». 

5) рЕшились – глагол; пропущена безударная непроверяемая гласная корня; является словарным словом, написание следует запомнить. 

6) путЕшественником – существительное; является сложным словом, образованным с помощью двух корней – «пут» и «ше»; пишется соединительная гласная «Е», так как первый корень оканчивается на мягкий согласный звук. 

7) путешествЕнником – существительное; образовано от слова «путешествие» с помощью суффиксов -ЕНН- и -ИК- (пишется буква «Е», так как суффикса ИНН нет).

8) вЕрхом – наречие; пропущена безударная проверяемая гласная корня; проверочное слово – «вЕрх».

9) (по) дорогЕ – существительное, относится к 1 склонению (женский род, в именительном падеже оканчивается на -А («дорогА»)); стоит в дательном падеже => нормативным окончанием является Е; запомнить.