5.01 Задачи из сборника И. В. Ященко ЕГЭ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?
Мы не знаем вероятность победы команды А ни в каком раунде (прямым текстом в условии об этом не говорится), но мы можем выстроить гипотетический порядок побед и поражений команды А, чтобы компенсировать этот недостаток информации.
Как, а главное, зачем это сделать?
Смотрим в условие: «Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее.» То есть в любом возможном исходе все 6 команд так или иначе встают в некоторую турнирную таблицу — от самой слабой команды до самой сильной.
Ещё раз, все команды разной силы, ничья невозможна, значит, можем выстроить следующие цепочки событий в тр̈eх благоприятных для нас ситуациях:
1. 3 раза подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (А), (не А), (не А).
2. 4 раза подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (А), (не А).
3. 5 раз подряд победа за А.
Итоговый турнирный лист: (не А), (не А), (не А), (не А), (не А), (А).
Теперь внимательно изучим каждый случай:
1. Как вы понимаете, мы не знаем точное ранжирование сил команд, но нам важно, чтобы команда А попала ровно на 3 место по силе, места 1, 2 и 6, 5, 4 могут быть заняты кем угодно. Что значит это "кем угодно"? Что нужно учесть все варианты расположения остальных 5 команд:
Это число исходов, где команда А третья из шести по силе.
Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно
командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем, что к
его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила
остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот
исход, где одна команда более сильная, а другая менее, и тот, где ситуация
обратна.
Теперь заметим самую хитрую мелочь: вероятность выиграть в этих 12 исходах у команды А нулевая. Почему?
Да потому что если команда А третья по силе, то как же она выступит в 4 раунде, когда осталась только она, команда сильнее её и команда сильнее их обеих? Очевидно, она проиграет в раунде с обеими более сильными командами.
Таким образом, вероятность победы в первом случае равна 0.
2. По аналогичному принципу ищем число исходов, где команда А вторая по силе:
Резонный вопрос: а что это за ? Ответ: мы не знаем, с какой именно
командой будет играть команда А в четвёртом раунде, но мы точно знаем что к
его началу в викторине останутся лишь 3 команды, одна из которых А. Сила
остальных двух неизвестна, поэтому приклеим двойку, чтобы учесть и тот
исход, где одна команда сильнее А, а другая слабее, и тот, где ситуация
обратна.
Опять же вопрос: а какова вероятность, что с наличием одной более слабой и
одной более сильной команды в оппонентах команда А победит? С вероятностью
Либо она сыграет со слабой и победит, либо сыграет с сильной и проиграет.
Третьего не дано.
3. Ну и самый лёгкий случай: команда А — сильнейшая из шести. Число исходов, где команда А первая по силе:
Раз команда сильнейшая, то она победит в четвёртом раунде с вероятностью 1.
Заметим, что всего исходов при условии, что А выиграла первые три раунда:
Собер̈eм воедино кусочки ответа:
Специальные программы
![](/public/new-site/images/loyalty.png)
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
![](/public/new-site/images/roulette.png)
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
![](/public/new-site/images/social.png)
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
![](/public/images/special/special-nology-minus.jpg)
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
![](/public/new-site/images/teachers.png)
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
![](/public/new-site/images/money.png)
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!