Многочлены на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан многочлен
Можно ли, переставив коэффициенты, получить многочлен
такой, что для всех натуральных чисел разность не кратна
Подсказка 1
Вспомним свойство о том, F(b) - F(a) делится на b - a для многочленов с целыми коэффициентами. Как можно его применить?
Подсказка 2
Заметим, что F(1) = G(1). А, что если подставить 101 в многочлены?
Подсказка 3
Верно! Получится, что F(101) - F(1) делится на 100 и G(101) - G(1) делится на 100. Что получится, если теперь рассмотреть разность этих выражений?
Предположим противное и пусть такой многочлен существует. Будем пользоваться следующей известной леммой: если — многочлен с целыми коэффициентами, то для любых целых и число делится на Тогда числа и делятся на а тогда на делится и их разность:
Осталось заметить, что то есть делится на Противоречие.
Нельзя
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!