1) Для литературной части вечера был припасён сюрприз: Ольга Книппер-Чехова пообещала прочитать ещё НЕ ОПУБЛИКОВАННЫЙ рассказ А.П. Чехова. — полное причастие; пишется с НЕ раздельно, так как имеет зависимое слово («ещё»)

2) Дедушка привык к простой пище и морские водоросли НЕДОЛЮБЛИВАЛ. — глагол с НЕДО-; пишется с НЕ слитно, так как обозначает неполноценное действие (не очень любил)

3) Готовиться к поездке мы начали НЕ ЗАДОЛГО до отпуска, а практически накануне. — наречие (оканчивающееся на -О); пишется с НЕ раздельно, поскольку есть противопоставление с союзом А

4) Я очень хотел позвонить Вам, но не смог придумать НИКАКОГО предлога. — отрицательное местоимение; пишется слитно с НИ (поскольку нет предлога, который бы разделял частицу и местоимение)

5) Екатерина Михайловна слушала НЕ ПЕРЕБИВАЯ и что-то записывала. — деепричастие; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется); внимание! некоторые деепричастия утрачивают значение добавочного действия и переходят в разряд наречий (но по форме все равно являются деепричастиями => пишутся с НЕ раздельно, но запятой не выделяются)