1) П.М. Третьяков, НЕ ИМЕВШИЙ в своей галерее изображения Н.А. Некрасова, заказал портрет поэта И.Н. Крамскому. — полное причастие; пишется с НЕ раздельно, так как имеет зависимые слова («в своей галерее изображения Н.А. Некрасова»)

2) Из-за НЕХВАТКИ микроэлементов в организме человека развивается болезнь сосудов. — существительное; пишется с НЕ слитно, так как можно заменить синонимом – «дефицита» (кроме того, это слово не употребляется без НЕ в нужном значении) 

3) Рассказывал он ничуть НЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО, но слушатели терпеливо дожидались финала истории. — наречие (оканчивающееся на -О); пишется с НЕ раздельно, поскольку есть слово «ничуть», усиливающее отрицание

4) Если моя выходка вам кажется смешной – пожалуйста, смейтесь: предупреждаю вас, что это меня не огорчит НИМАЛО. — отрицательное наречие; пишется с НИ слитно (можно заменить синонимом – «нисколько, ничуть»), запомнить 

5) Да, это было сложно, очень сложно, но сложности эти нужно было во что бы то НИ СТАЛО преодолеть. — наречное выражение «ВО ЧТО БЫ ТО НИ СТАЛО» пишется в 6 слов, запомнить