Тема 18. Задачи с параметром

18.03 Задачи формата ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85021

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

(4x2− 8x)2+ 2a|4x − 2x2|− a− 1= 0

имеет или семь, или восемь различных решений.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

16(x2− 2x)2+ 4a|x2 − 2x|− a− 1= 0

Пусть t= |x2− 2x|=|(x− 1)2 − 1|.  Так как t= t(x)  — функция, то разным значениям t  обязательно соответствуют разные значения x.  Тогда уравнение примет вид

  2
16t + 4at− a− 1= 0

Исследуем новую переменную:

∙ при t< 0  уравнение          2
t =|(x− 1) − 1| не имеет решений.

∙ при t> 0  имеем |(x − 1)2− 1|= t  ⇔   (x − 1)2 = 1± t  и 1+ t> 0.  Следовательно,

при 1 − t <0  имеем x= 1± √1-+t  — два решения;

при 1 − t =0  имеем       √----
x= 1±  1 +t;1  — три решения;

при 1 − t >0  имеем       √----    √----
x= 1±  1 +t;1±  1 − t  — четыре решения.

∙ при t= 0  имеем x = 0;2  — два решения.

Следовательно, необходимо, чтобы уравнение

      2
y = 16t + 4at− a − 1 = 0

имело два корня t1 < t2 :  0< t1 < 1,t2 =1  или 0< t1 < t2 < 1.

Найдем дискриминант нашего уравнения:

D = 16(a+ 2)2 ≥ 0

Нужно, чтобы D > 0,  то есть a ⁄= −2.  При этом рассмотрим два случая:

1.
0< t1 < 1,t2 = 1:  y(1)= 0  ⇔   a = −5.  Тогда
t1 = t1t2 = − a-+-1= 1 ∈ (0;1)
            16    4

Этот случай нам подходит.

2.
0< t1 < t2 <1.  Тогда парабола y = y(t)  должна выглядеть следующим образом:

10

Следовательно, такая парабола задается системой

(
|| y(0)> 0
|{
|| y(1)> 0      ⇔   −5 < a< −1
|( 0< t0 < 1

Значит, итоговый ответ

a ∈[−5;−2)∪ (− 2;− 1)
Ответ:

a ∈[−5;−2)∪ (− 2;− 1)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!