Тема 18. Задачи с параметром

18.03 Задачи формата ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87060

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
|| 3y2+-4xy-+-x2= 24
{   2y + x− 6
||(     √ - 2        2    2
  (x − 2 5a)+ (y− 4) ≤ 2a

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. При 2y + x− 6⁄= 0  оно равносильно

3y2 +4xy+ x2− 48y− 24x+ 144= 0
 2                   2
3y  +4(x− 12)y + (x − 12) = 0

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно y.  Дискриминант равен

D = 16(x − 12)2− 12(x − 12)2 = 4(x− 12)2

Следовательно,

                            ⌊
    −4(x−-12)±-2(x-− 12)     ⌈y = −x+ 12
y =         6           ⇒    y = − 1x + 4
                                  3

Следовательно, первое уравнение задает на координатной плоскости две прямые l1 :  y =− x+ 12  и l2 :  y =− 1x+ 4
     3  с выколотыми на этих прямых точками пересечения с прямой      1
y = − 2x + 3.  Это точки E(18;− 6)  и F (− 6;6).

Неравенство системы задает круг с центром в точке   √-
(2 5a;4)  и радиусом     √-
R =  2|a|.  Этот круг при a= 0  вырождается в точку (0;4).  Заметим, что центр круга движется по прямой y = 4.  Изобразим графики и те положения круга, при которых он имеет ровно две общие точки с прямыми.

PIC

Нам подходят всего два положения круга, определенные положением центра: в точке O1  и в точке O2,  когда окружность касается обеих прямых одновременно. При этом точки B1  и B2  прямой l1  не совпадают с точкой E  (ординаты разных знаков) и точки D
  1  и D
 2  прямой l
 2  не совпадают с точкой F  (абсциссы разных знаков).

Если окружность пересекает хотя бы одну из прямых в двух точках, то это значит, что все точки этой прямой, лежащие между двумя точками пересечения, являются решением системы. То есть решений будет бесконечно много и этот случай нам не подойдет.

Заметим сразу, что из уравнений прямых определяется угол наклона этих прямых к оси Ox :  коэффициент k  перед x  в уравнении прямой y = kx +b  равен тангенсу угла наклона прямой. Следовательно, α = arctg1  — острый угол между прямой l1  и горизонталью; β = arctg 13  — острый угол между прямой l2  и горизонталью.

Выпишем нужные нам точки: A(8;4),  C (0;4),     √-
O(2 5a;4).

Положение 1: точка O1.

O1B1 = O1D1 = R  — радиусы окружности, перпендикулярные прямым. Так как sinα = √12,  sinβ = √110,  то можно найти отрезки O1A  и O1C :

            √ -
O A = -R--= --2|a|= 2|a|
 1    sinα     1√2
            √ -
      -R--  --2|a|   √ -
O1C = sin β = √110 = 2  5|a|

С другой стороны, длина O1A  равна модулю разности абсцисс точек A  и O1.  Аналогичные рассуждения для отрезка O1C.

           -
O1A =8 − 2√ 5a
      √ -
O1C = 2 5a

Получаем систему:

({               √ -
 2|√a|= O1A =8 − 2√-5a   ⇔   a= √5-− 1
(2  5|a|= O1C = 2 5a

Положение 2: точка O2.

Имеем:

({            √ -
 2|√a|= O2A =2  5a√− 8    ⇔   a= √5-+ 1
(2  5|a|= O2C = 2 5a

Таким образом, ответ

a∈ {√5 − 1;√5-+ 1}
Ответ:

a ∈{√5-− 1;√5-+ 1}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!