Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.24 Взвешивания

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#60164

Среди восьми монет, возможно, есть одна лёгкая фальшивая монета (но её может и не быть). Как за два взвешивания найти фальшивую монету, если она есть, или доказать, что её нет?

Показать ответ и решение

Заметим, что при нахождении одной фальшивой монеты из девяти мы одну из монет вообще никогда не клали на весы. Таким образом, если мысленно добавить девятую монету, которая будет фальшивой в том случае, когда среди восьми монет нет фальшивой, то, используя 8 имеющихся монет, мы в любом случае найдём фальшивую.

Ответ: Алгоритм

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#60165

Пусть имеется 7 серебряных монет и 2 медные, причём медные отличаются по виду от серебряных. Известно, что одна из монет фальшивая, а остальные настоящие. При этом настоящая серебряная монета отличается по весу от настоящей медной, а фальшивая монета легче настоящей монеты из того же металла. Как найти фальшивую монету за два взвешивания?

Показать ответ и решение

Положим на каждую чашу весов по 3 серебряные монеты. Если одна из чаш оказалась легче, то фальшивая монета находится на ней и мы отыщем её вторым взвешиванием. Если же весы оказались в равновесии, то фальшивая монета — одна из трёх остальных. Тогда вторым взвешиванием сравним между собой две медные монеты.

Ответ: Алгоритм

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#60166

Есть 27 монет, часть из них серебряные, остальные — медные. Известно, что одна из них фальшивая, а остальные настоящие. При этом настоящая серебряная монета отличается по весу от настоящей медной, а фальшивая монета легче настоящей монеты из того же металла. Как найти фальшивую монету за три взвешивания?

Показать ответ и решение

Разобьём все монеты на пары монет из одного металла, лишь одна монета останется без пары. Выберем любые 9 пар и разложим монеты каждой пары на две разные чаши. В результате на чашах окажется поровну медных и поровну серебряных монет. После взвешивания останется ровно 9 подозрительных монет: с лёгкой чаши при неравновесии или отложенные при равновесии.

Аналогично проведем второе взвешивание: из 9 подозрительных монет выберем любые 3 пары из одного металла и разложим монеты каждой пары на две разные чаши. Таким образом сократим количество подозрительных монет до 3.

Наконец, третьим взвешиванием из 3 подозрительных монет однозначно определим фальшивую, сравнив по весу две монеты из одного металла.

Ответ: Алгоритм
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!