Пусть исходные чисел равны …, Тогда их сумму можно вычислить так:

Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна

Пусть

а) Пусть сумма после операции увеличилась в 4 раза, тогда

Вычтем из второго уравнения первое:

Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть всего 16 чисел, в них Пусть

Тогда

Таким образом,

Итого изначально на доске написали 8 чисел 16 и 8 чисел 17.

б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:

Полученная система не имеет целых решений, так как 2112 не делится на 99, поэтому условие пункта б) невозможно.

в) Пусть сумма увеличилась в раз. Тогда

Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в раза, значит,

Преобразуем второе уравнение:

Тогда оценим снизу:

Так как — целое, то

Заметим при этом, что

Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в раза, то есть стала равна

Мы выяснили, что Тогда пусть изначально на доске было 14 чисел, при этом

Тогда имеем:

Если взять то действительно

Значит, если изначально на доске были написаны два числа 18 и двенадцать чисел 19, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 264 на 1254.