Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Источники:
Пусть исходные 
чисел равны 
…, 
Тогда их сумму можно
вычислить так:
Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна
Пусть
а) Пусть сумма после операции увеличилась в 3 раза, тогда
Вычтем из второго уравнения первое:
Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.
Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.
Пусть всего было 168 чисел, в них 
Пусть 
Тогда
Таким образом,
Итого изначально на доске написали 162 числа 14 и 6 чисел 18.
б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:
Тогда 
, 
Отсюда получаем, что чисел не более 96, так как
иначе 
Следовательно, 
. То есть
полученные значения 
и 
недостижимы.
в) Пусть сумма увеличилась в 
раз. Тогда
Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в 
раза, значит,
Преобразуем второе уравнение:
Тогда оценим 
снизу:
Так как 
— целое, то 
Заметим при этом, что
Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в
раза, то есть стала равна
Мы выяснили, что 
Тогда пусть изначально на доске было 126 чисел,
при этом
Тогда
Если взять 
то действительно
Значит, если изначально на доске было написано 123 числа 19 и 3 числа 13, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 2376 на 11286.
а) Пример
б) Нет, не могла
в) 11286
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
