Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написали несколько необязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Источники:
Пусть исходные 
чисел равны 
…, 
Тогда их сумму можно
вычислить так:
Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна
Пусть
а) Пусть сумма после операции уменьшилась в 3 раза, тогда
Вычтем из второго уравнения первое:
Из этих данных уже достаточно просто можно получить пример.
Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.
Пусть всего было 56 чисел, в них 
Пусть 
Тогда
Таким образом,
Итого изначально на доске написали 54 числа 41 и 2 числа 81.
б) Аналогично пункту а) составим систему и решим её:
Вычтем из второго уравнения первое:
Такая ситуация невозможна, поскольку так как 
, то чисел не более 16 и
в) Пусть
Заметим, что каждое из написанных чисел уменьшилось не более чем в 
раза, значит,
Тогда оценим 
сверху:
Так как 
— целое, то 
Заметим при этом, что
Тогда из первого уравнения системы при 
получаем
Приведем пример чисел, при которых сумма уменьшилась в 4 раза. Пусть изначально было 36 чисел.
Тогда
Значит,
Значит, если изначально на доске было написано 27 чисел 61 и 9 чисел 81, то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с 2376 на 594.
а) Пример
б) Нет, не могла
в) 594
| Содержание критерия | Балл |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б), | 2 |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте в) | |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
