Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида с высотой
, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с
прямым углом
. Найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в градусах.
Так как – высота пирамиды, то
. Заметим, что
– проекция наклонной
на плоскость
. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (так как
) наклонная
перпендикулярна
, то есть угол между ними равен
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — правильная треугольная пирамида с вершиной
Найдите угол между
и
Ответ дайте в
градусах.
Так как пирамида правильная, то высота пирамиды падает в точку пересечения медиан основания. Пусть
— медиана
основания. Тогда
— проекция наклонной
на плоскость основания.
Так как — часть
а
поскольку медианы правильного треугольника являются также и высотами, то по
теореме о трех перпендикулярах имеем:
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида с высотой
Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом
Найдите
угол между ребрами
и
Ответ дайте в градусах.
Так как — высота пирамиды, то
Заметим, что
— проекция
наклонной
на плоскость
Так как
то по теореме о трех
перпендикулярах
следовательно, угол между
и
равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Отрезки и
перпендикулярны, отрезки
и
перпендикулярны. Отрезки
и
перпендикулярны, точка
отрезка
такова, что
Найдите отношение градусных мер углов
и
Так как отрезок перпендикулярен
и
причём
и
пересекаются, то
перпендикулярен плоскости
Тогда
— проекция
на
, но
перпендикулярен
следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах
перпендикулярен
Так как то
— середина
тогда
в треугольнике
является медианой и высотой.
Следовательно, треугольник
— равнобедренный, отсюда получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямые и
перпендикулярны и лежат в плоскости
. Прямая
перпендикулярна прямой
и
пересекает прямую
в точке
, а также пересекает прямую
в точке
, так что
. При
этом прямая
пересекает
в точке
так, что
,
. Найдите угол между прямыми
и
. Ответ дайте в градусах.
Так как , то отрезок
перпендикулярен
, следовательно прямая
перпендикулярна
, но
перпендикулярна
,
и
– пересекаются, тогда
перпендикулярна
,
следовательно
– проекция
на
.
Итого: перпендикулярна проекции
на
, тогда по теореме о трех перпендикулярах
перпендикулярна
, то есть угол между ними составляет
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из точки на плоскость прямоугольника
опустили перпендикуляр
. Известно, что
,
. Найдите
.
Так как – перпендикуляр к плоскости
, то
– проекция
на
. Так
как
– прямоугольник, то
перпендикулярна
, следовательно по теореме о трех
перпендикулярах
перпендикулярна
и треугольник
– прямоугольный.
По теореме Пифагора
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида с высотой
Известно, что
равно 10 и перпендикулярно
причем
лежит на
Найдите площадь треугольника
Так как — высота пирамиды, то
Заметим, что
— проекция наклонной
на плоскость
Так как
то по теореме о трех перпендикулярах
следовательно,
Треугольник прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора
Тогда искомая площадь треугольника равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана пирамида с высотой
.
– такая точка на
, что
.
– такая точка
на
, что
, причем
,
,
. Найдите площадь треугольника
.
Так как – высота пирамиды, то
. Следовательно,
перпендикулярно любой
прямой из
, значит,
. Тогда
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
и
из плоскости
, значит,
.
Заметим, что тогда – проекция наклонной
на эту плоскость. Значит, по теореме о трех
перпендикулярах
.
По теореме Пифагора из :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая лежит в плоскости
,
,
. Точка
лежит в плоскости
, точка
принадлежит прямой
. Найдите
, если
,
,
.
Т.к. – перпендикуляр к плоскости
,
– прямая в плоскости
, а
– наклонная,
перпендикулярная к прямой
, то согласно теореме о трех перпендикулярах
– равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом
по теореме
Пифагора
. В прямоугольном треугольнике
:
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая лежит в плоскости
,
,
. Точка
лежит в плоскости
, точка
принадлежит прямой
. Найдите
, если
,
,
.
Т.к. – перпендикуляр к плоскости
,
– прямая в плоскости
, а
– наклонная,
перпендикулярная к прямой
, то согласно теореме о трех перпендикулярах
–
равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом
по теореме Пифагора
. В прямоугольном треугольнике
:
.